Álgebra Lineal : Es Invertible La Matriz De Prueba

Question

Yo estaba haciendo un poco de álgebra lineal ejercicios y encontré con el siguiente problema difícil :

Deje $M_{n\times n}(\mathbf{R})$ denota el conjunto de todas las matrices cuyas entradas son números reales. Supongamos $\phi:M_{n\times n}(\mathbf{R})\to M_{n\times n}(\mathbf{R})$ es un valor distinto de cero lineal de transformación (es decir, una matriz de $A$ tal que $\phi(A)\neq 0$) tal que para todos los $A,B\in M_{n\times n}(\mathbf{R})$ $$\phi(AB)=\phi(A)\phi(B).$$ Demostrar que existe una matriz invertible $T\in M_{n\times n}(\mathbf{R})$ tal que $$\phi(A)=TAT^{-1}$$ para todos los $A\in M_{n\times n}(\mathbf{R})$.

Este es un ejercicio de mi libro y estoy todos los pulgares cuando traté de resolverlo .

Alguien me puede decir en cuanto a cómo debería , al menos , iniciar el problema ?

Answer 1

Este tipo de problemas son conocidos como lineal salvavidas problemas en la literatura. El siguiente es un bosquejo de la prueba de que inmediatamente viene a mi mente. Es cierto que hay maneras más simples para resolver el problema (sobre todo si se hace uso de los resultados existentes en lineal salvavidas problemas), pero de todos modos, vamos a $\{e_1,\ldots,e_n\}$ ser el estándar de la base de $\mathbb R^n$$E_{ij}=e_ie_j^T$.

1. Demostrar que $\phi$ es inyectiva. Sugerencia. Supongamos que, al contrario, $\phi(X)=0$ para algunos matriz $X$ cuyas $(r,s)$-ésima es distinto de cero. Ahora considere el $\phi(E_{ir}XE_{sj})$ por cada $(i,j)$.

2. Demostrar que

   • $\phi$ conserva no invertibility (sugerencia: si $X$ es singular, entonces $XY=0$ para algunos distinto de cero $Y$),
   • $\phi$ conserva invertibility (sugerencia: si $\phi(P)$ es singular para algunos es invertible $P$, $\phi(P)Y=0$ para algunos distinto de cero de la matriz $Y$; desde $\phi$ es un inyectiva operador lineal sobre un número finito de dimensiones de espacio vectorial, $Y=\phi(B)$ para algunos distinto de cero $B$, pero luego ...),
   • $\phi(I)=I$.

3. Este es el único paso interesante en el conjunto de la prueba: mostrar que todos los $\phi(E_{ii})$ es un rango-1 de la matriz idempotente. Sugerencia: el rango de una matriz idempotente es igual a su traza.

4. Argumentan que sin pérdida de generalidad, podemos suponer que la $\phi(E_{11})=E_{11}$.

5. Demostrar que siempre que $i,j\ne1$, la primera columna y la primera fila de $\phi(E_{ij})$ cero (sugerencia: $E_{ij}E_{11}=0=E_{11}E_{ij}$). Por inducción matemática/recursividad, muestran que se puede asumir que el $\phi(E_{ii})=E_{ii}$ por cada $i$.

6. Para cualquier fuera de la diagonal par de coordenadas $(i,j)$, muestran que $\phi(E_{ij})$ es un escalar varios de $E_{ij}$ (sugerencia: tenemos $E_{kk}E_{ij}=0$ por cada $k\ne i$ $E_{ij}E_{kk}=0$ por cada $k\ne j$).

7. Por lo tanto demostrar que además de todos los supuestos anteriores (es decir, $\phi(E_{ii})=E_{ii}$ $\phi(E_{ij})$ es un escalar varios de $E_{ij}$ por cada $i,j$), que además puede suponer que $\phi(E_{\color{red}{1}j})=E_{\color{red}{1}j}$ por cada $j$.

8. Desde $\phi$ conserva invertibility y no invertibility, demostrar que $\phi(E_{ij})=E_{ij}$ por cada $(i,j)$.