¿Cuáles son las

Question

El título lo dice todo. Creo que esta debe ser una pregunta fácil, pero simplemente no pude encontrar la respuesta.

Ok ... me voy a dar un poco más de contexto a mi pregunta. Estoy encontrando esto en el contexto de la relatividad general, cuando estamos tratando de resolver para la solución de Schwarzschild. Escribimos una métrica que respeta la simetría esférica. De acuerdo con el libro de texto (Carroll), "sostenemos que un esféricamente simétrica del espacio-tiempo puede ser foliada por dos esferas - en otras palabras, que (casi) cada punto se encuentra en una única esfera que se deja invariante por los generadores de simetría esférica." Algún tiempo después menciona el Asesinato de los vectores de $S^2$, los cuales son

$$R=\partial_\phi$$

$$S=\cos \phi \partial_\theta - \cot \theta \sin \phi \partial_\phi$$

$$T=-\sin\phi\partial_\theta - \cot\theta \cos\phi\partial_\phi$$

y él observa que estos vectores de obedecer a las siguientes álgebra:

$$[R,S]=T\quad [S,T]=R\quad [T,R]=S.$$

No estoy seguro de cómo la Matanza de los vectores son exactamente vinculados a la simetría esférica, y por qué un álgebra de entre el Asesinato de los vectores es importante (específicamente con respecto a la simetría esférica). Y también no sé lo que él quiere decir cuando dice "generadores de simetría esférica", de ahí que la pregunta original.

Answer 1

La primera cosa que es importante entender es que la noción de simetría en la teoría general de la relatividad. Es sutilmente diferente del concepto en Hamiltoniana de la mecánica.

Decimos que un parámetro de una familia de diffeomorphisms $\phi_t$ con el vector de velocidad de campo $X$ conserva un campo tensorial $T$ fib

$$\mathcal{L}_X T = 0$$

Si usted no está seguro acerca de la terminología de arriba, a continuación, lea este práctico de introducción. El campo de vectores $X$ se refiere a menudo como el generador de las transformaciones $\phi_t$.

Decimos que $X$ genera una simetría de una métrica espacio-tiempo si el asociado $\phi_t$ preservar la métrica $g$, o, equivalentemente,

$$\mathcal{L}_Xg=0$$

Esta es exactamente la condición de que $X$ es Matar a un campo de vectores para la métrica $g$. De modo que el Asesinato de campos vectoriales son exactamente los campos vectoriales que generan el espacio-tiempo de simetrías.

De regreso a su ejemplo. En un espacio-tiempo con simetría esférica, usted debe ser capaz de identificar la Matanza de los vectores de arriba, usando coordenadas polares esféricas.

Por el contrario, si ningún subconjunto de) la Matanza de los vectores de su colector obedece a la Matanza de álgebra de $S^2$, entonces se puede concluir que el colector no tiene simetría esférica. Esto es debido a que la Matanza de los vectores de determinar la Mentira de álgebra de la máxima simetría del grupo de la preservación de la métrica, por definición.