Que totalmente número complejo del campo de incrustaciones corresponden a la geométrica rotaciones/reflexiones en un argand'diagrama?

Question

Para que totalmente complejo de campos de número de $K$ con incrustaciones $\{ \sigma_1, \dots, \sigma_m\}$ tenemos la igualdad:

$$|\sigma_1(x)| = |\sigma_2(x)| = \dots = |\sigma_m(x)|,$$

para todos los $x \in K$ donde $|\cdot|$ corresponde a la compleja valor absoluto $|x| = (x\bar{x})^{1/2}$? En otras palabras, que el número de campos tienen incrustaciones que no afectan a la distancia de una coordenada en un argand'diagrama?

Answer 1

Asumiendo su condición, debemos tener cada galois de acción actúa a través de la multiplicación por algunos complejos de la unidad:

$|x| = |\sigma(x)| \implies \sigma(x) = u \cdot x$ por alguna unidad compleja $u$.

Suponga $\sigma(x) = u \cdot x$, $\sigma(x+1) = u\cdot x + 1 = w\cdot x + w$ por alguna otra unidad de $w$. Esto implicaría que $|x+1| = |u\cdot x + 1|$. Esto es absurdo, a menos que $u\cdot x = \bar{x}$ o $x$. Por lo tanto el grupo de galois debe consistir sólo de la identidad y el complejo conjugado (sólo imaginario cuadrática campos de ajuste de la condición).