$x^5-1$ completamente divide en $\mathbb F_{16}$

Question

Necesito demostrar que $x^5-1$ completamente divide en $\mathbb F_{16}$. Esto significa que tiene exactamente $5$ único raíces en $\mathbb F_{16}$. Sólo he encontrado la siguiente manera: encontrar un polinomio irreducible de grado $4$$\mathbb F_2[x]$, escribir todos los $16$ restos de la misma, levantar todo el poder a $5$, y ver que es exactamente $5$ de ellos recibí $1$. Yo creo que hay otros (corto) de las pruebas. Puede usted por favor darme una pista?

Answer 1

Sugerencia: el grupo multiplicativo $\mathbb{F}_{16}\setminus\{0\}$ es cíclico y tiene orden de $15$.

Answer 2

La buena (+1) responder por egreg es la ruta más fácil para el destino, creo. Una alternativa es probar que $$ x^4+x^3+x^2+x+1=\frac{x^5-1}{x-1} $$ es irreducible en a $\Bbb{F}_2[x]$. Por lo tanto, podemos construir el campo de 16 elementos como $$ \Bbb{F}_{16}=\Bbb{F}_2[x]/\langle x^4+x^3+x^2+x+1\rangle, $$ y el coset de $x$ es una primitiva de la quinta raíz de la unidad no.

Answer 3

Deje $g(x) = (x^5-1)/(x-1)$. Mostrar que $g(x)$ es irreducible en a $\mathbb F_2[x]$. Mostrar que $\mathbb F_2[x] / (g(x))$ es la división de campo de la $g(x)$ (esto es cierto para finito de campos en general). ¿Cuál es el orden de $\mathbb F_2[x] / (g(x))$?