Ayuda con $\lim\limits_{x \to 0^+}{x^a}{\ln x}$

Question

Evaluar $$\lim\limits_{x \to 0^+}{x^a}{\ln x}$$

He utilizado la regla de L'Hospital hasta $\Large \lim\limits_{x \to 0^+}{\frac{x^{a-2}}{-a}}$, pero no puedo ir más lejos. Gracias por la ayuda de antemano!

Answer 1

Si $\;a\le 0\;$:

$$\lim_{x\to 0}x^a\log x=-\infty\;,\;\;\text{since}\;\;x^a\xrightarrow[x\to 0^+]{}\begin{cases}1\;,\;\;a=0\\\infty\;,\;\;a<0\end{cases}\;\;,\;\;\log x\xrightarrow[x\to 0^+]{}-\infty$$

Si $\;a>0\;$ , directamente por l'Hospital de la regla:

$$\lim_{x\to 0^+}\frac{\log x}{\frac1{x^a}}\stackrel{\text{l'H}}=\lim_{x\to 0^+}\frac{\frac1x}{-a\frac1{x^{a+1}}}=-\frac1a\lim_{x\to 0^+}x^a=0$$