Poliedro combinatoriamente equivalente con vértices de un conjunto denso dado

Question

En esta pregunta sólo nos interesa la convexidad poliedros en el espacio euclidiano $\mathbb R^3$ .

Poliedros $P$ y $P'$ se dice que son combinatoriamente equivalente si existe un biyección entre ellos (denotado aquí como $X\mapsto X'$ ) preservando el número de vértices, aristas y caras y sus relaciones (es decir, arista $E$ conecta los vértices $A$ y $B$ y separa las caras $G$ y $H$ en $P$ si el borde $E'$ conecta los vértices $A'$ y $B'$ y separa las caras $G'$ y $H'$ en $P'$ ). Obsérvese que ignoramos los posibles Quiralidad y, por tanto, todo poliedro es combinatoriamente equivalente a su imagen especular.

Recordemos que un subconjunto $S$ de $\mathbb R^3$ es denso si existe un punto de $S$ en cada vecindad de cada punto de $\mathbb R^3$ . Por ejemplo, el conjunto de todos los puntos con coordenadas racionales es denso.

Pregunta: ¿Es cierto que para todo subconjunto denso $S$ y cada poliedro $P$ existe un poliedro combinatoriamente equivalente cuyos vértices pertenecen a $S$ ?

Answer 1

Su comentario me ha guiado por el camino correcto.

Reclamación. Existe un subconjunto denso $S \subseteq \mathbb R^3$ que no contiene $4$ puntos distintos y coplanares.

Prueba. Fijemos una base contable $\mathcal B = \{ O_n \mid n \in \mathbb N \}$ para la topología de $\mathbb R^3$ que no contenga $\emptyset$ como elemento. Construimos recursivamente una secuencia $(S_n \mid n \in \mathbb N_0)$ tal que para todo $m,n \in \mathbb N_0$ con $m < n$

• $S_m$ es finito,
• $S_m \subseteq S_n$ ,
• si $0 < m$ entonces $S_m \cap O_m \neq \emptyset$ ,
• no $3$ puntos distintos de $S_m$ son colineales y
• no $4$ puntos distintos de $S_m$ son coplanares.

Si conseguimos construir tal secuencia, entonces $S = \bigcup \{ S_n \mid n \in \mathbb N_0 \}$ es contable, denso y no contiene $4$ puntos coplanares distintos. Con este fin, dejemos que $S_0$ sea cualquier conjunto de $4$ puntos que no son coplanares y tales que no $3$ puntos de $S_0$ son colineales (por ejemplo $S_0 = \{(0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) \}$ ).

Dado $S_n$ dejar $[S_n]^3$ sea el conjunto de todos los subconjuntos de $S_n$ que contienen precisamente $3$ puntos distintos. Como no hay $3$ puntos de $S_n$ son colineales, cualquier $s \in [S_n]^3$ abarca un subespacio afín bidimensional de $\mathbb R^3$ que denotamos por $P_s$ . Sea $[S_n]^2$ sea el conjunto de todos los subconjuntos de $S_n$ que contienen precisamente $2$ puntos distintos. Para cada $s \in [S_n]^2$ dejar $L_s$ sea la línea afín abarcada por $s$ . Sea $X = \bigcup \{ P_s \mid s \in [S_n]^3 \} \cup \bigcup \{ L_s \mid s \in [S_n]^2 \}$ . Desde $X$ es una unión finita de conjuntos con medida de Lebesgue $0$ sabemos que $X$ tiene medida de Lebesgue $0$ . En particular, esto da como resultado $O_n \setminus X \neq \emptyset$ . La elección de algunos $s_n \in O_n \setminus X$ dejamos que $S_{n+1} = S_n \cup \{s_n\}$ . $\square$

Si $S$ es como en la afirmación, no hay ningún poliedro con vértices en $S$ que es combinatoriamente equivalente al "cubo de la unidad". Así pues, tu pregunta tiene una respuesta negativa, en contra de mi intuición inicial.