Acerca de por qué Danielewski superficies son los contraejemplos para la cancelación problema

Question

El Danielewski superficies de $xy^n=1-z^2$ son de la famosa contraejemplos para la cancelación problema para afín espacios. Me estoy preguntando dónde encontrar los artículos contando toda la historia. Especialmente cómo distinguir en el sentido de isomorfismo (he escuchado que se involucra el grupo fundamental en el infinito, que estoy muy curioso acerca de pero que no están familiarizados con). Traté de google scholar, pero los papeles están investigando otras propiedades de ellos.

Gracias!

Answer 1

Escribí acerca de este contraejemplo en otra respuesta, pero supongo que sería útil hacer una lista de los artículos pertinentes aquí. Además de las fuentes a continuación, un buen amigo mío escribió una bonita exposición de este tema, y hay una muy buena visión general de Kraft:

Hanspeter Kraft, Desafiantes problemas afín $n$-espacio, Astérisque (1996), no. 237, Exp. Nº 802, 5, 295-317, Seminario Bourbaki, Vol. 1994/95. MR 1423629 (97m:14042)

El artículo original, que a mi entender no está disponible en línea, es

Wlodzimierz Danielewski, En una cancelación problema y automorphism grupo afín de variedades algebraicas, preprint, Varsovia, 1989.

Fieseler describe cómo calcular la "homología en el infinito" para las dos superficies, así como la demostración de por qué las superficies son isomorfos después de tomar el producto con $\mathbf{A}^1$ (ver Rem. 1.5):

Karl-Heinz Fieseler, En complejo afín a las superficies con $\mathbf{C}^+$-acción, Comentario. De matemáticas. Helv. 69 (1994), no. 1, 5-27. MR 1259603 (95b:14027)

Tom Dieck describe el "grupo fundamental en el infinito", que está particularmente interesado en, y su prueba de la no-isomorphicity es de una forma más geométrica sabor:

Tammo tom Dieck, la Homología de los aviones sin la cancelación de la propiedad, Arch. De matemáticas. (Basilea) 59 (1992), no. 2, 105-114. MR 1170634 (93i:14012)

Makar-Limanov descubierto lo que él llama el "AK-invariante," que de manera algebraica que distingue a las superficies de $n=1$$n>1$, y además los resultados en el siguiente artículo distinguir las superficies con diferentes valores de $n$:

Leonid Makar-Limanov, En el grupo de automorfismos de una superficie $x^ny = P(z)$, Israel J. Math. 121 (2001), 113-123. MR 1818396 (2001m:14086)

No es un libro de cuenta de este último artículo: ver Rowen del Posgrado álgebra conmutativa de la vista, empezando en la página. 201.