El exponencial de una matriz real

Question

Sea A un $n \times n$ matriz real tal que $Exp(A) \in SO(n)$ ¿es necesariamente que $A$ es antisimétrico?

Answer 1

Esto es falso. Dejemos que $$ A=\pmatrix{0&\pi\cr-4\pi&0\cr}. $$ Entonces los valores propios de $A$ son $\pm2\pi i$ . Así que $$SAS^{-1}=\pmatrix{0&2\pi\cr-2\pi&0\cr}$$ para una matriz adecuada $S$ . Pero $$ \exp(A)=S^{-1}\exp(SAS^{-1})S=S^{-1}I_2S=I_2 $$ está en $SO(2)$ porque para todo lo real $t$ tenemos $$ \exp\pmatrix{0&t\cr-t&0\cr}=\pmatrix{\cos t&\sin t\cr-\sin t&\cos t\cr}. $$ Sin embargo, $A$ no es antisimétrico.