Qué $\mathbb Q(\sqrt{-2})$ contienen una raíz cuadrada de $-1$?

Question

Esta no es una tarea pregunta, pero yo he encontrado en línea.

Qué $\mathbb Q(\sqrt{-2})$ contienen una raíz cuadrada de $-1$?

Hemos comenzado a hacer la teoría de campo de mi clase y yo quiero más de práctica, pero no tengo idea de cómo empezar, incluso este problema. No, ¿verdad? No estoy seguro de por qué.

Answer 1

Asumir que existe $ p,q \in \Bbb{Q} $ tal que $$ \left( p^{2} - 2 q^{2} \right) + i (2 \sqrt{2} p q) = (p + q \sqrt{-2})^{2} = -1. $$ A continuación, cualquiera de $ p = 0 $ o $ q = 0 $ $ 2 \sqrt{2} p q = 0 $ (tenga en cuenta que $ -1 $ no tiene parte imaginaria).

• Si $ p = 0 $,$ q^{2} = \dfrac{1}{2} $, lo $ q \notin \Bbb{Q} $.
• Si $ q = 0 $,$ p^{2} = -1 $, lo $ p \notin \Bbb{Q} $.

Por tanto, tenemos una contradicción.

Conclusión: $ \Bbb{Q}[\sqrt{-2}] $ no contiene una raíz cuadrada de $ -1 $.

Answer 2

Si $\mathbb Q(\sqrt{-2})$$i$, entonces contendría $\sqrt2$.

Sin embargo, $\mathbb Q(\sqrt{-2}) \cap \mathbb R = \mathbb Q$, que no contenga $\sqrt2$.

Answer 3

Aplicar el Lema de abajo a $\rm\, K,a,b\, =\, \Bbb Q,-1,-2.$

Lema $\rm\ \ [K(\sqrt{a},\sqrt{b}) : K] = 4\ $ si $\rm\ \sqrt{a},\ \sqrt{b},\ \sqrt{a\:b}\ $ todos no están en $\rm\:K\:$ $\rm\: 2 \ne 0\:$ $\rm\:K$

Prueba de $\ \ $ Vamos $\rm\ L = K(\sqrt{b}).\,$ $\rm\, [L:K] = 2\:$ a través de $\rm\:\sqrt{b} \not\in K,\,$, por lo que es suficiente para demostrar $\rm\: [L(\sqrt{a}):L] = 2.\:$ falla sólo si $\rm\:\sqrt{a} \in L = K(\sqrt{b}).\, $ $\rm\ \sqrt{a}\ =\ r + s\ \sqrt{b}\ $ $\rm\ r,s\in K.\:$ Pero eso es imposible, ya que el cuadrado de los rendimientos $\ \rm\color{#c00}{(1)}:\ \ a\ =\ r^2 + b\ s^2 + 2\:r\:s\ \sqrt{b}\:,\: $ contra las hipótesis, de la siguiente manera

$\rm\qquad\qquad rs \ne 0\ \ \Rightarrow\ \ \sqrt{b}\ \in\ K\ \ $ mediante la resolución de $\,\color{#c00}{(1)}\,$ $\rm\sqrt{b}\:,\:$ $\rm\:2 \ne 0$

$\rm\qquad\qquad s = 0\ \ \Rightarrow\ \ \ \sqrt{a}\ \in\ K\ \ $ través $\rm\ \sqrt{a}\ =\ r \in K$

$\rm\qquad\qquad r = 0\ \ \Rightarrow\ \ \sqrt{a\:b}\in K\ \ $ través $\rm\ \sqrt{a}\ =\ s\ \sqrt{b},\: $ veces $\rm\:\sqrt{b}\quad\,$ QED

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Comentario $\ $ con el de arriba como el paso inductivo uno fácilmente se demuestra el siguiente

Teorema $\ $ Deje $\rm\:Q\:$ ser un campo con $2 \ne 0\:,\:$ $\rm\ L = Q(S)\ $ ser una extensión de $\rm\:Q\:$ generado por $\rm\: n\:$ raíces cuadradas $\rm\ S = \{ \sqrt{a}, \sqrt{b},\ldots \}$ de los elt $\rm\ a,\:b,\:\ldots \in Q\:.\:$ Si cada subconjunto no vacío de a $\rm\:S\:$ tiene el producto no está en $\rm\:Q\:$, a continuación, cada una de las sucesivas contigüidad $\rm\ Q(\sqrt{a}),\ Q(\sqrt{a},\:\sqrt{b}),\:\ldots$ duplica el grado $\rm\:Q\:,\:$, por lo que, en total, $\rm\: [L:Q] \ =\ 2^n\:.\:$ por lo tanto el $\rm\:2^n\:$ subproductos del producto de $\rm\:S\:$ comprenden una base de $\rm\:L\:$ $\rm\:Q\:.$

Answer 4

Aquí es un enfoque diferente:

Supongamos que tenemos $i \in \mathbb{Q}[i\sqrt{2}]$. Esto significa que tenemos $\mathbb{Q}[i] \subset \mathbb{Q}[i\sqrt{2}]$. Pero desde que ambos campos son de grado $2$$\mathbb{Q}$, se seguiría que $\mathbb{Q}[i] \cong \mathbb{Q}[i\sqrt{2}]$.

Cualquier isomorfismo $\phi: \mathbb{Q}[i] \rightarrow \mathbb{Q}[i\sqrt{2}]$ debe ser la identidad en $\mathbb{Q}$ (żpor qué?). Por lo $\phi(i) = a + bi\sqrt{2}$ algunos $a, b \in \mathbb{Q}$$b \neq 0$. Esto significa:

$$\phi(i^2) = \phi(-1) = (a + bi\sqrt{2})^2 = a^2 - 2b^2 + 2i\sqrt{2}ab$$

Ahora desde $\phi$ se supone que es para arreglar $\mathbb{Q}$$-1 \in \mathbb{Q}$, debemos tener $a = 0$$b = 1/\sqrt{2}$, por lo tanto $\phi(i) = i$. Esto no es bueno porque esto implica que $\phi(a+bi) = a + bi$ para todos los elementos en $\mathbb{Q}[i]$. En particular, ningún elemento es llegar enviado a $i\sqrt{2}$, y así no hay isomorfismo $\phi$ puede existir.

Answer 5

Por otro lado, $-1$ es la suma de dos cuadrados de aquí. ¿Qué Lam llamadas Siegel del Teorema es que, en un número algebraico de campo, el stufe es uno de $1,2,4,\infty.$ $-1$ no es la suma de cualquier número de plazas en el campo, o es en sí mismo una plaza, o es la suma de dos o cuatro plazas.

Voy a ver si puedo encontrar una expresión explícita; otros serían más rápido que yo, aunque.

Hay que ir, miró Berrick expresiones: $$ \left( \frac{1}{2} \sqrt{-2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \sqrt{-2} \right)^2 = \frac{-1}{2} + \frac{-1}{2} = -1 $$ o $$ 1^2 + \left( \sqrt{-2} \right)^2 = 1-2 = -1 $$

http://en.wikipedia.org/wiki/Stufe_%28algebra%29#Examples

Extra: se encuentra los detalles en un libro que no tiene por Rajwade; el stufe de una ecuación cuadrática de campo, $\mathbb Q(\sqrt {-D})$ $D>0$ squarefree, es $1$ si $D=1,$ $2$ si $D \neq 8n+7,$ $4$ si $D = 8n+7.$ Teorema 3.2, en las páginas 31 y 32 de 1993 en su libro.

$$ \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \sqrt{-7} \right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{-7}{4} = -1 $$ o $$ 2^2 + 1^2 + 1^2 + \left( \sqrt{-7} \right)^2 = 4+1+1-7 = -1 $$