Son estas las bases para una topología?

Question

Tengo la siguiente topología : $$\tau= \Bigl\{U\subseteq \mathbb{R}^2: (\forall(a,b) \in U) (\exists \epsilon >0) \bigl([a,a+\epsilon] \times [b-\epsilon, b+\epsilon]\subseteq U\bigr)\Bigr\}$$

Son estos una base para la topología anterior:

$\beta_1= \{[a,a+\epsilon] \times [b-\epsilon, b+\epsilon]\subseteq \Bbb R^2: (a,b)\in \Bbb R^2, \epsilon>0 \}$

$\beta_2= \{[a,a+\epsilon) \times [b-\epsilon, b+\epsilon)\subseteq \Bbb R^2: (a,b)\in \Bbb R^2, \epsilon>0 \}$

La primera es, obviamente, una base para $\tau$ debido a la definición de $\tau$ y yo diría que la segunda también es una base, porque $[a,a+\epsilon) \times [b-\epsilon, b+\epsilon) \subseteq [a,a+\epsilon] \times [b-\epsilon, b+\epsilon] $

Es correcto? ¿qué te parece?

Answer 1

Sugerencia. Qué definición de "base" estás usando? Existen algunas variaciones de la definición de alrededor, pero todos los que conozco comenzar por exigir que los conjuntos de la base deben ser bloques abiertos de la topología. Es fácil de saltar directamente a la comprobación de las demás propiedades, pero es importante no olvidar que la primera condición.

Answer 2

Tenga en cuenta que ningún elemento en $\beta_1$ es en realidad un conjunto abierto en la topología $\tau$. Considerar el elemento $A$$\beta_1$$a=b=0$$\epsilon=1$. El punto de $(1,1)\in A$ pero no existe $\epsilon>0$ tal que $[1,1+\epsilon]\times[1-\epsilon,1+\epsilon]\subset A$ porque $(1,1)$ está en el límite de $A$.

Para $\beta_2$, considerar el mismo $a,b,\epsilon$, pero la mirada en el punto de $(0,0)$.