Descuento problema de optimización

Question

Tengo dificultades para escribir el siguiente problema en una manera formal:

Tenemos algunas máquinas de coca-cola en una escuela y que pueden ser de trabajo o se ha roto. Así que una de dos estados, de trabajo y de corretaje.

(1) Si está roto, tiene un costo de us $8c$ y lleva todo el día para repararlo.

(2) Si es de trabajo tenemos dos subcases: la Gente que usa el equipo o no. Si nadie usa la máquina que no tienen ningún costo y la probabilidad de que la máquina no está funcionando al día siguiente es $p$. Si la gente usa la máquina que tenemos coste $c$ y la probabilidad de $q<(7/8)p$ que la máquina no está funcionando el día siguiente.

Ahora también tenemos un descuento factor de $\beta\in(0,1)$. Queremos minimizar el total de los esperados, descontados a costar más de un tiempo infinito.

$F(0)$ es el costo mínimo si la máquina está rota en la mañana y $F(1)$ el costo mínimo si la máquina está trabajando. Ahora quiero mostrar que lo mejor es que nadie usa la máquina onlfy si $\beta\le \frac{1}{7p-8q}$

Creo que la primera cosa a hacer es escribir la ecuación de optimalidad, por lo $F(1)$ en términos de las integrales.

$F(1)=\int_0^{\infty}\min[x,\beta F(1)]p(x) dx=\beta F(1)+\int_0^{\infty}\min[x-\beta F(1),0]p(x)$

Es esta la mejor manera de empezar?

Answer 1

Supongo que se rompe una máquina debe ser reparado. Si lo mejor es no utilizar la máquina, a continuación, la vida útil estimada de descuento en el costo de un día en que la máquina está trabajando es el de descuento de la vida útil estimada de costo al día siguiente:

$F(1)= \beta\{(1-p)F(1) + pF(0)\}$.

La vida útil estimada de descuento en el costo de un día, la máquina no está funcionando es el costo de la reparación que día más el descuento de la vida útil estimada de costo al día siguiente:

$F(0) = 8c + \beta F(1)$.

Resolver para obtener

$F(1) = 8c\frac{\beta p}{(1-\beta)(1+\beta p)}$ $F(0) = 8c\frac{\beta^2 p + (1-\beta)(1+\beta p)}{(1-\beta)(1+\beta p)}$.

Ahora la política de no usar la máquina es óptimo sólo en caso de que el descuento de por vida costo de hacerlo no es más que la espera de descuento de por vida costo de uso de la máquina. Es decir,

$\beta\{(1-p)F(1) + pF(0)\} \le c+\beta\{(1-q)F(1) + qF(0)\}$

o $\beta (p-q)\{F(0)-F(1)\} \le c$.

Sustituyendo las expresiones para $F(1)$ $F(0)$ rendimientos

$8c\frac{\beta(p-q)(1-\beta)}{(1-\beta)(1+\beta p)} \le c$

que se traduce en la condición deseada $\beta \le \frac{1}{7p-8q}$.