¿Preguntas sobre este ODE? $\frac{dy}{dx} = \frac{2x-y}{x+2y}$

Question

¿Soy tonto o esta pregunta es realmente difícil? Hice la sustitución $u=y/x \implies y = ux$ así que luego me toca a mí:

$x \cdot \dfrac{du}{dx} + u = \dfrac{2x-ux}{x+2ux} \implies x \cdot \dfrac{du}{dx} + u = \dfrac{2-u}{1+2u} $ . Entonces simplifiqué esto a

$x \cdot \dfrac{du}{dx} + \dfrac{2u^2+2u-2}{1+2u}=0$ ... Ahora no tengo ni idea de cómo resolver esto, volviendo al punto de partida. ¿Estaba mal mi sustitución inicial? Es la que me recomendó mi profesor así que pensé que funcionaría un poco mejor...

Gracias.

Answer 1

Después de fijar $u=y/x$ la ecuación diferencial $$ \frac{dy}{dx}=\frac{2x-y}{x+2y} $$ se convierte en $$ x\frac{du}{dx}+u=\frac{2-u}{1+2u}, $$ es decir $$ x\frac{du}{dx}=\frac{2-u}{1+2u}-u=\frac{2-2u-2u^2}{1+2u}=-\frac{2u^2+2u-2}{2u+1}. $$ Suponiendo que $$ 2u^2+2u-2\ne 0 \, \mbox{ and }\, x\ne 0, $$ obtenemos $$\tag{1} \frac{2u+1}{2u^2+2u-2}du=-\frac1xdx. $$ Integrando (1) tenemos: $$ \int\frac{2u+1}{2u^2+2u-2}du=-\int \frac1xdx, $$ es decir $$ \frac12\ln|2u^2+2u-2|=-\ln|x|+A, $$ donde $A$ es una constante real. Por lo tanto, $$ \ln\left|\left(\frac{y}{x}\right)^2+\frac{y}{x}-\frac12\right|=-\ln x^2+2A, $$ es decir $$ y^2+xy-\frac{x^2}{2}=C $$ con $C$ una constante real.

Answer 2

Pista: tenemos $$\frac{2-u}{1+2u}-u=\frac{2-u-u(1+2u)}{1+2u}=\frac{2-2u-2u^2}{1+2u}$$

Answer 3

Esta ecuación diferencial es exacta. podemos reescribirla como $$0=M \,dx + N\, dy = (y-2x)\, dx+(x+2y)\, dy.$$ entonces vemos que $$M_y = 1 = N_x. $$ hay un $F$ tal que $F_x = y-2x, F_y = x+2y$ integrando la primera con obtenemos $$F = xy - x^2 +f(y)\to F_y = x + g' = x + 2y\to g = y^2 $$ por lo que las soluciones son $$xy - x^2 + y^2 = constant $$