Conjuntos ordenados $\langle \mathbb{N} \times \mathbb{Q}, \le_{lex} \rangle$ $\langle \mathbb{Q} \times \mathbb{N}, \le_{lex} \rangle$ no isomorfos

Question

Yo estoy haciendo este ejercicio:
Probar que los conjuntos ordenados $\langle \mathbb{N} \times \mathbb{Q}, \le_{lex} \rangle$ $\langle \mathbb{Q} \times \mathbb{N}, \le_{lex} \rangle$ son no isomorfos ($\le_{lex}$ significa lexigraphic orden).

No sé cómo empezar (yo sé que para probar que los conjuntos ordenados son isomorfos me gustaría hacer un monótono bijection, pero, ¿cómo demostrar que no son isomorfos?).

Answer 1

Recordemos que el orden lexicographic en $A\times B$ es esencialmente tomar $A$ y reemplazar cada punto con una copia de $B$.

Tan sólo en uno de estos lexicográfica pedidos cada elemento tiene un inmediato sucesor. Y tener un inmediato sucesor se conserva bajo isomorphisms.

(En general, para mostrar dos órdenes no son isomorfos usted necesita para mostrar que no hay bijections entre los conjuntos (por ejemplo, $\Bbb Q$ $\Bbb R$ son no isomorfos porque no hay un bijection entre ellos) o que no son propiedades de la realidad para una ordenada y conjunto y no para los otros que se conservan bajo isomorphisms, como mínimo, o ser un orden lineal, o tener sucesores inmediatos.)

Answer 2

Para probar dos estructuras no son isomorfos, un buen enfoque es encontrar una propiedad que una estructura satisface que el otro no; y, a continuación, demuestra que la propiedad se conserva por isomorphisms.

Para el ejemplo concreto: ¿has probado a dibujar las dos lineal de las órdenes en cuestión? ¿Qué es una propiedad $\mathbb{Q}$ que $\mathbb{Z}$ no?

Answer 3

Supongamos que existe un isomorfismo $\phi:\mathbb{Q} \times \mathbb{N} \to \mathbb{N} \times \mathbb{Q} $.

Deje $(n,q) = \phi((0,0))$ y deje $(a,b) = \phi^{-1}((n,q-1))$. Tenga en cuenta que debemos tener $a<0$ desde $(n,q-1) < (n,q)$.

Tenga en cuenta que tenemos $(a,b) < (a,b+1) < (0,0)$.

Tenga en cuenta que no hay elementos en $\mathbb{N} \times \mathbb{Q}$ entre $(n,q-1)$ $(n,q)$ y puesto que debemos tener $(n,q-1) = \phi(a,b) < \phi(a,b+1) < \phi(0,0) = (n,q)$ tenemos una contradicción.