He calculado la siguiente integral definida, y quisiera saber si mi cálculo parece ser la correcta:
$$\int_2^3{\frac{1}{x-\sqrt{x}}}\,\,dx = \int_2^3{\frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}}\,\,dx$$
Por medio de la sustitución:
$$u = \sqrt{x}-1,\,\, \frac{du}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}-0,\,\, du = \frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx$$
Así
$$2\int{\frac{1}{u}}\,\,du = 2\ln{|u|}+c = 2\ln{|\sqrt{x}-1|}+c$$
La evaluación de la integral, obtenemos
$$2\ln{(\sqrt{3}-1)} - 2\ln{(\sqrt{2}-1)} = 2\ln\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}-1}\right)$$
Que, si se calcula, sale aprox. $1.1389$.
Agradecería cualquier comentario, en caso de que se me puede haber pasado por alto algo en mi cálculo.
Gracias!
