La proposición. Deje $X$ ser un subconjunto cerrado de la esfera $\mathbb S^2$. A continuación, $X$ está conectado si y sólo si cada componente conectado de $\mathbb S^2\setminus X$ es simplemente conectado.
Es necesario condición. Supongamos que algún componente conectado, $U$ $\mathbb S^2\setminus X$ no es simplemente conexa, es decir, existe un bucle de $\sigma:[0,1]\to U$ que no está contráctiles en $U$.
Si $\sigma$ fue incrustado $\mathbb S^1$ (a Jordania bucle), entonces su complemento en $\mathbb S^2$ consiste de dos componentes conectados $V,W$. Desde $X$ está conectado, sólo uno puede satisfacer $X$, y el otro sería contenida en $U$ $\sigma$ contráctiles en $U$. Y esta es la idea, aunque no es fácil, porque el bucle, siendo sólo continua puede ser muy extraño:
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Denotar $\varSigma$ el seguimiento de $\sigma$ y escoger un punto de $p\in\mathbb S^2\setminus\varSigma$, de modo que $\varSigma\subset U\setminus\{p\}\subset\mathbb S^2\setminus\{p\}\equiv\mathbb R^2$. El burdo argumento es reemplazar el lazo poligonal de unirse adecuados puntos de $\varSigma$, lo cual se puede hacer localmente por interpolación en pequeños discos de $D_i$ cubriendo $\varSigma$. Pero, de nuevo, como la imagen de arriba intenta mostrar, esto puede ser difícil de alcanzar:
en el caso representado el disco de $D_r$ debe ser repetido $D_2$ $D_2$ rebautizado como $D_3$, y las cosas empeoran con otros discos.
Para hacer esto correctamente, cubierta $\varSigma$ con discos de $D_i\subset U$. Su inversa imágenes de $\sigma^{-1}(D_i)$ forma abierta cobertura en $[0,1]$ y tiene un número de Lebesgue $\rho>0$ tal que para cualquier partición $0=t_0<t_1<\cdots<t_r=1$ $\rho\!>\!1/r\ $ cada imagen $g([t_{k-1},t_k])$ se encuentra en un disco de $D_{i_k}\subset U$.
A continuación el segmento de $J_k\subset D_{i_k}$ unirse a $g(t_{k-1})$ $g(t_k)$es parametrizadas por el intervalo de $[t_{k-1},t_k]$ para obtener un número finito de lazo poligonal $\gamma:[0,1]\to \bigcup D_i\subset U$. Esta $\gamma$ es homotópica a$\sigma$$H_s=(1-s)\sigma+s\gamma$; notar aquí que la interpolación lineal se queda dentro de la $D_{i_k}$'s. Esto garantiza $\gamma$ no contráctiles en $U$ $\sigma$ no lo era.
Ahora, $\gamma$ ser finito, de planta poligonal, lazo, de hecho es una unión finita de planta poligonal, Jordania bucles, y algunos de ellos $L$ debe ser no contráctiles, por lo tanto, tenemos en el final de una poligonal Jordania bucle $L\subset U$ y para este modo de bucle simple el argumento esbozado al principio no trabajo para obtener una contradicción.
Aviso también de que estamos utilizando el Jordan-Brouwer teorema, pero los hoteles de caso de una poligonal Jordania bucle!
Condición suficiente. Supongamos $X\subset\mathbb S^2$ es cerrado pero no conectado, decir $X=Y\cup Z$ se $Y,Z$ son distintos subconjuntos cerrados de la esfera. Debemos construir un no contráctiles bucle $\sigma:[0,1]\to\mathbb S^2\setminus X$.
Aquí voy a utilizar algunas Topología Diferencial.
En primer lugar tomamos una función suave $f:\mathbb S^2\to\mathbb R$ $\equiv-1$ $Y$ $\equiv1$ $Z$ (Uryshon suave de la función). Luego nos aproximado de $f$ $g:\mathbb S^2\to\mathbb R$ $<0$ $Y$ $>0$ $Z$ y es transversal a $\{0\}\subset\mathbb R$. En consecuencia, $C=g^{-1}(0)$ es un compacto de curva suave, por lo tanto, una unión finita de suaves curvas de Jordan, decir $C=C_1\cup\cdots\cup C_s$; por la construcción de $C\cap X=\varnothing$. Cada una de las $C_\ell$ desconecta $\mathbb S^2$ (realmente Jordan-Brouwer), por lo tanto $C_\ell$ tiene un regular suave ecuación de $g_\ell:\mathbb S^1\to\mathbb R$, que es una función suave transversal a $\{0\}$ tal que $C_\ell=\{g_\ell=0\}$. De curso $C_\ell$ ha de tales ecuaciones, pero hay un problema con la elección de la señal. Ahora que la curva se desconecta uno elige el signo para ser constante en un componente fijo del complemento y, a continuación, el local de las ecuaciones se pueden pegar bien por medio de una partición de la unidad. (Esto es demasiado vagas, pero es lo esencial. El pensamiento de no desconectar círculo en un toro ayuda a ver lo que está pasando.)
Un hecho importante es que cualquier función suave $h:\mathbb S^1\to\mathbb R$ de fuga en $C_\ell$ es un múltiplo de la ecuación de $g_\ell$, $h=h_\ell\cdot g_\ell$. En efecto, (i) de forma local en $C_\ell$ esto reduce al caso de $g_\ell=y$ en el avión, un fácil ejercicio de Cálculo, y (ii) fuera de $C_\ell$ se puede dividir por $g_\ell$ porque no tiene ningún cero.
De ello se desprende que existe una factorización de la $g=ug_1\cdots g_s$ donde $u$ es una función suave en ninguna parte de cero. Por lo tanto $u$ tiene signo constante en $\mathbb S^2$, y desde $g$ cambia de signo formulario de $Y$$Z$, de algún factor $g_\ell$ debe hacer lo mismo. Por ejemplo, $g_1$ $<0$ en algún punto de $p\in Y$ $<0$ en algún punto de $q\in Z$. Considerar el componente conectado a $U$ $\mathbb S^2\setminus X$ que contiene $C_1$ y las inclusiones
$$
C_1\subconjunto de U\subconjunto\mathbb S^2\setminus\{p,q\}=M.
$$
Si $C_1$ fue contráctiles en $U$ sería en $M$. Pero $M$ es un cilindro donde $C_1$ se desconecta (ya desconecta $\mathbb S^2$), por lo tanto $C_1$ no contráctiles en $M$. Hemos terminado.
