Cómo mostrar que x, y y z son iguales?

Question

Realmente agradecería ayuda con este sistema de ecuaciones: $$ \left\{ \begin{array}{c} x^2 +3y=-2 \\ y^2 +3z=-2 \\ z^2+3x=-2 \end{array} \right. $$

Parece bastante obvio que las $x, y$ $z$ son todos iguales y, a continuación, la ecuación se puede resolver fácilmente, pero no sé cómo demostrar que son iguales matemáticamente.

Answer 1

Es claro que debemos tener $x,y,z<0$, y que por la simetría de las ecuaciones se puede tomar cualquiera de los $x \le y \le z$ o $x \le z \le y$.

Supongamos $x \le y \le z$$x<z$. Entonces $$x^2+3y=z^2+3x\ \Rightarrow\ x^2-z^2=3(x-y)$$ Pero $x^2-z^2 > 0$$x-y \le 0$, de manera que la ecuación es tanto $>0$ $\le 0$ ... claro que esto no puede suceder, así que debemos tener $x=z$ y, por tanto,$x=y=z$.

Un argumento similar funciona para $x \le z \le y$ considerando $x^2+3y=y^2+3z$.

Answer 2

Las raíces del polinomio $$ f(x)= x^8 + 8 x^6 + 60 x^4 + 176 x^2 + 2187 x + 1942 $$ permiten satisfacer las condiciones para $x \ne y \ne z$.
Hemos de redescubrir el 2 soluciones de $x=y=z=-1$$x=y=z=-2$, pero también una solución compleja
$(x,y,z)=(2.44944 -1.66645i,-1.74091+2.72124i, 0.791465+3.15828i) $
donde las rotaciones $(y,z,x), (z,x,y)$ y los complejos conjugados $(\overline x,\overline y, \overline z)$ son también soluciones.

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Si escribimos $$g(x) = -{x^2+2\over 3}$$ a continuación, el conjunto de ecuaciones es también $$ \begin{eqnarray} y=g(x)&;& z=g(y)=g(g(x))&;& x=g(z)=g(g(g(x))) \end{eqnarray}$$ y la ecuación de $x = g(g(g(x))))$ conduce a la polinomio $f(x)$ por encima.

He calculado las raíces utilizando Pari/GP y hacerlas llegar a los primeros dígitos: $$ \pequeño \begin{array} {rr} -2.00000000000 \\ -1.00000000000 \\ 2.44944037937&-1.66644590342*I \\ 2.44944037937&+1.66644590342*I \\ -1.74090540769&-2.72123992391*I \\ -1.74090540769&+2.72123992391*I \\ 0.791465028319&-3.15828086610*I \\ 0.791465028319&+3.15828086610*I \end{array}$$ Podemos reescribir el conjunto de ecuaciones $$ \begin{eqnarray} y = -{x^2+2\over3} & ;&z = -{y^2+2\over3}&;&x = -{z^2+2\over3} \end{eqnarray}$$ Si puedo insertar las raíces que me pasa por las sucesivas evalutations la siguiente ( y última entrada debe ser igual que el primero de cada fila): $$ \pequeño \begin{array} {rr|rr|rr|rr} x=root_r&& y=g(x) && z=g(y) && x=g(z) \\ \hline -2.00000 && -2.00000 && -2.00000 && -2.00000 \\ -1.00000 && -1.00000 && -1.00000 && -1.00000 \\ 2.44944 &-1.66645i & -1.74091&+2.72124i & 0.791465&+3.15828i & 2.44944&-1.66645i \\ 2.44944 &+1.66645i & -1.74091&-2.72124i & 0.791465&-3.15828i & 2.44944&+1.66645i \\ -1.74091&-2.72124i & 0.791465&-3.15828i & 2.44944&+1.66645i & -1.74091&-2.72124i \\ -1.74091&+2.72124i & 0.791465&+3.15828i & 2.44944&-1.66645i & -1.74091&+2.72124i \\ 0.791465&-3.15828i & 2.44944&+1.66645i & -1.74091&-2.72124i & 0.791465&-3.15828i \\ 0.791465&+3.15828i & 2.44944&-1.66645i & -1.74091&+2.72124i & 0.791465&+3.15828i \end{array} $$

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Podemos expresar el 8 posibles soluciones de conjuntos de $(x,y,z)$ por los siguientes índices en el polroots, donde empezamos a contar en 1:

$[1,1,1],[2,2,2],[3,6,8],[4,5,7],[5,7,4],[6,8,3],[7,4,5],[8,3,6]$

Las dos primeras soluciones de $x=y=z$
mientras que en el siguiente 6 de soluciones de $x \ne y \ne z$ (siendo rotaciones y complejos conjugados de cada uno de los otros)