¿Cómo puedo encontrar el mínimo valor de $|5^{4m+3}-n^2 |$ para los enteros positivos n,m. Voy a resolver este trabajo a domicilio problema, pero es un proceso muy largo. Así que necesito una pregunta de respuesta corta.
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black-tux
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Por fin he encontrado una prueba simple para los no enteros negativos $n,m.$
$$min_{n,m∈Z_0^+ }|5^{4m+3}-n^2 |$$
Claramente para $m=0,n=11$ tenemos $|5^{4m+3}-n^2 |=4.$
A continuación, hemos de verificación sólo los cuatro casos $|5^{4m+3}-n^2 |=0,1,2,3.$
Tenga en cuenta que $n^2≡0,1,4,5,6,9(mod10); 5^{4m+3}≡5(mod10) $cualquier $n,m∈Z_0^+.$
Por lo tanto únicos valores posibles para el último dígito de la $|5^{4m+3}-n^2 |$ $0,1,4,5.$
Por lo tanto, tenemos sigue siendo sólo de los casos $|5^{4m+3}-n^2 |=0,1.$
Tenga en cuenta que para cualquier $m∈Z_0^+,$
$$5^4m≡625(mod10000),\\
5^(4m+1)≡3125(mod10000),\\
5^(4m+2)≡5625(mod10000),\\
5^(4m+3)≡8125(mod10000).$$
Por lo tanto $5^{4m+3}$ siempre tienen la última dígitos como $8125.$
Supongamos $n^2$ tienen los tres últimos dígitos $125.$
A continuación, $n$ es de la forma $n=10k+5$ para algún entero positivo $k.$
$$100k^2+100k+25=1000l+125,\\
k(k+1)=10 l+1.$$
Desde LHS es siempre incluso esto es una contradicción.
Por lo tanto $|5^{4m+3}-n^2 |≠0$ cualquier $n,m∈Z_0^+.$
Podemos encontrar $n∈N$ tal que $n^2≡8126(mod10000)$ o $n^2≡8124(mod10000)?$
No hay enteros cuyas plazas últimos dos dígitos $26.$
$$n^2≡24(mod100) ⇔ n≡±18(mod50).$$
$$n^2≡124(mod1000) ⇔ n≡±182(mod500).$$
Pero tenga en cuenta que $n^2≡8124(mod10000)⇒ n$ es incluso y $n^2/4≡2031(mod2500).$
No hay enteros cuyas plazas últimos dos dígitos $31.$
Por lo tanto $|5^{4m+3}-n^2 |≠1$ cualquier $n,m∈Z_0^+.$
Por lo tanto $$min_{n,m∈Z_0^+ }|5^{4m+3}-n^2 |=4.$$
