Cómo encontrar el valor mínimo de $|5^{4m+3}-n^2 |$

Question

¿Cómo puedo encontrar el mínimo valor de $|5^{4m+3}-n^2 |$ para los enteros positivos n,m. Voy a resolver este trabajo a domicilio problema, pero es un proceso muy largo. Así que necesito una pregunta de respuesta corta.

Answer 1

$$|5^{4m+3}-n^2| = |5^{4m} 125 - k^2 5^{4m}| = 5^{4m} |125-k^2|$$

El mínimo es de 4 al$m=0$$k=11$.

Answer 2

Por fin he encontrado una prueba simple para los no enteros negativos $n,m.$ $$min_{n,m∈Z_0^+ }|5^{4m+3}-n^2 |$$ Claramente para $m=0,n=11$ tenemos $|5^{4m+3}-n^2 |=4.$
A continuación, hemos de verificación sólo los cuatro casos $|5^{4m+3}-n^2 |=0,1,2,3.$
Tenga en cuenta que $n^2≡0,1,4,5,6,9(mod10); 5^{4m+3}≡5(mod10)$cualquier $n,m∈Z_0^+.$
Por lo tanto únicos valores posibles para el último dígito de la $|5^{4m+3}-n^2 |$ $0,1,4,5.$
Por lo tanto, tenemos sigue siendo sólo de los casos $|5^{4m+3}-n^2 |=0,1.$

Tenga en cuenta que para cualquier $m∈Z_0^+,$ $$5^4m≡625(mod10000),\\ 5^(4m+1)≡3125(mod10000),\\ 5^(4m+2)≡5625(mod10000),\\ 5^(4m+3)≡8125(mod10000).$$ Por lo tanto $5^{4m+3}$ siempre tienen la última dígitos como $8125.$
Supongamos $n^2$ tienen los tres últimos dígitos $125.$
A continuación, $n$ es de la forma $n=10k+5$ para algún entero positivo $k.$ $$100k^2+100k+25=1000l+125,\\ k(k+1)=10 l+1.$$ Desde LHS es siempre incluso esto es una contradicción.
Por lo tanto $|5^{4m+3}-n^2 |≠0$ cualquier $n,m∈Z_0^+.$

Podemos encontrar $n∈N$ tal que $n^2≡8126(mod10000)$ o $n^2≡8124(mod10000)?$
No hay enteros cuyas plazas últimos dos dígitos $26.$ $$n^2≡24(mod100) ⇔ n≡±18(mod50).$$ $$n^2≡124(mod1000) ⇔ n≡±182(mod500).$$ Pero tenga en cuenta que $n^2≡8124(mod10000)⇒ n$ es incluso y $n^2/4≡2031(mod2500).$
No hay enteros cuyas plazas últimos dos dígitos $31.$
Por lo tanto $|5^{4m+3}-n^2 |≠1$ cualquier $n,m∈Z_0^+.$

Por lo tanto $$min_{n,m∈Z_0^+ }⁡|5^{4m+3}-n^2 |=4.$$