La convergencia de la secuencia de solución a la ecuación diferencial

Question

Yo estaba trabajando en un problema sobre una secuencia de funciones, cada una de las cuales es una solución a una secuencia de ecuaciones diferenciales, que converge a una función que se supone debe ser el límite de la secuencia anterior que he mencionado.

El problema es el siguiente

Deje $R=\lbrack t_0-a,t_0+a\rbrack\times\lbrack x_0-b,x_0+b\rbrack$, Supongamos $(f_n)_{n\in\Bbb N}$ es una secuencia de funciones definidas en $R$ que converge uniformemente a $f$. Esta función es de Lipschitz con respecto a $x$ y continua con respecto a $t$.

Considere las siguientes ecuaciones diferenciales $$ \begin{cases} x'(t)=f(t,x)\\ x(t_0)=x_0 \end{casos} \quad \begin{cases} x'(t)=f_n(t,x)\\ x(t_0)=x_n \end{casos} $$

Deje $\varphi,\varphi_n$ soluciones tanto a las ecuaciones diferenciales se definen respectivamente en común subinterval $\lbrack c,d\rbrack\subseteq \lbrack t_0-a,t_0+a\rbrack$. Mostrar que si $x_n\xrightarrow[]{}x_0$ $\varphi_n\to\varphi$ uniformemente en $\lbrack c,d\rbrack$.

Lo que he hecho es probar y seguir las definiciones de convergencia uniforme de una sucesión de funciones y no acabo de entender cómo llegar a la convergencia de $\varphi_n$. Sé que la condición de Lipschitz en $f$ garantiza la existencia de este tipo de soluciones a las ecuaciones diferenciales.

Parece que el problema tiene un poco de trucos detrás de la espalda. No estoy muy seguro de cómo debo trabajar con este problema, cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Tienes razón en que hay algunos trucos. La primera (un estándar) es que escribir las soluciones de los IVPs como soluciones de las ecuaciones integrales $$ \varphi(t) = x_0 + \int\limits_{t_0}^{t} f(s, \varphi(s)) \, ds, \quad \varphi_n(t) = x_n + \int\limits_{t_0}^{t} f_n(s, \varphi_n(s)) \, ds, \quad \forall{t \en [c, d]}. $$ Ahora necesitamos agrupar términos en una forma adecuada: $$ \varphi_n(t) - \varphi(t) = \biggl( \Bigl( x_n - x_0 \Bigr) + \int\limits_{t_0}^{t} (f_n(s, \varphi_n(s)) - f(s, \varphi_n(s)))\, ds \biggr) \\ + \int\limits_{t_0}^{t} (f(s, \varphi_n(s)) - f(s, \varphi(s))) \, ds, $$ lo que da $$ \lvert \varphi_n(t) - \varphi(t) \rvert \le \biggl( \lvert x_n - x_0 \rvert + \biggl\lvert \int\limits_{t_0}^{t} \lvert f_n(s, \varphi_n(s)) - f(s, \varphi_n(s)) \rvert \, ds \biggr\rvert \biggr) \\+ \biggl\lvert\int\limits_{t_0}^{t} \lvert f(s, \varphi_n(s)) - f(s, \varphi(s))\rvert \, ds \biggl\rvert. $$ Tome $\varepsilon > 0$. Para $n$ suficientemente grande, $\lvert x_n - x_0 \rvert < \varepsilon$. Del mismo modo, por la convergencia uniforme de $f$$f_n$$R$, tenemos, por lo suficientemente grande $n$, $$ \biggl\lvert \int\limits_{t_0}^{t} \lvert f_n(s, \varphi_n(s)) - f(s, \varphi_n(s)) \rvert \, ds \biggl\rvert < \varepsilon. $$ En consecuencia, $$ \lvert \varphi_n(t) - \varphi(t) \rvert \le 2 \varepsilon + L \biggl\lvert \int\limits_{t_0}^{t} \lvert \varphi_n(s) - \varphi(s) \rvert \, ds \biggl\rvert, $$ donde $L$ es una constante de Lipschitz para $f$. Aplicamos (una forma simple de) Grönwall la desigualdad (otro truco) para obtener $$ \lvert \varphi_n(t) - \varphi(t) \rvert \le 2 \varepsilon e^{L \lvert t - t_0 \rvert} \qquad \forall{t \en [c, d]}, $$ por lo tanto $$ \lvert \varphi_n(t) - \varphi(t) \rvert \le 2 \varepsilon e^{L} \qquad \forall{t \en [c, d]}, $$ lo que concluye la prueba.

Observar que no hay que asumir que $f_n$ son de Lipschitz. De hecho, no necesitamos la unicidad de las soluciones a $$ \begin{cases} x'(t)=f_n(t,x)\\ x(t_0)=x_n \end{casos} $$ en nuestra prueba.