Función $f(x)$ , de tal manera que $\sum_{n=0}^{\infty} f(n) x^n = f(x)$

Question

Considere una función $f(x)$ . Definir la serie de Taylor $\sum_{n=0}^{\infty} f(n) x^n$ . ¿Existe una función de este tipo, que no sea constante $0$ que $\sum_{n=0}^{\infty} f(n) x^n = f(x)$ ?

La serie Taylor de $f(x)$ en $0$ es $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$ . La serie es única, por lo que $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} f(n) x^n.$ Esto significa que $f^{(n)}(0)=f(n) n!$ . La función constante $0$ cumple esta condición. ¿Hay otras?

Añadir: Aquí hay una pregunta casi similar: ¿Existe una función con la propiedad $f(n)=f^{(n)}(0)$ ? No es lo mismo, pero se parece un poco. ¿Se puede utilizar de alguna manera?

Answer 1

Lejos de ser una solución, pero algunas reflexiones:

Digamos que una función completa es $n$ -fina si $f(0)=0$ , $f'(0)=1$ y $f^{(k)}(0)=f(k)k!$ para $0\le k\le n$ .

Para $n\ge 2$ , considere el polinomio $$p_n(x)=x^{n}(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)=(-1)^{n-1}(n-1)!x^{n}+O(x^{n+1}).$$ Entonces para $0\le k<n$ tenemos $p_n^{(k)}(0)=p_n(k)=0$ mientras que $p_n(n)=n^n (n-1)!$ y $p_n^{(n)}(0)=(-1)^{n-1}n!(n-1)!$ . En particular, $$p_n(n)n!-p_n^{(n)}(0)=(n^n+(-1)^n)n!(n-1)!\ne0.$$

Así,

Lema. Si $f$ es $n$ -bien, $n\ge 1$ entonces existe un único $c$ tal que $f+cp_{n+1}$ es $(n+1)$ -bien.

Dada una función 1-fina $f_1$ en su forma más general $f_1(x)=x+x^2g(x)$ utilizamos el lema para definir recursivamente una secuencia $\{f_n\}_n$ tal que $f_n$ es $n$ -fino y $f_{n+1}-f_n$ es un múltiplo de $p_{n+1}$ .

La pregunta es: ¿Tiene $f=\lim_{n\to\infty}f_n$ ¿existen? Como $x^n\mid p_n$ el límite existe ciertamente como formal serie de potencia. Esto nos da un mapa lineal $g\mapsto f$ de funciones enteras (o incluso series de potencias formales) a series de potencias formales, y buscamos un punto fijo de este mapa ...

Answer 2

Definir la función $f:\mathbb{N}\to \mathbb{R}_+$ dado por $f(n)=a^n$ , donde $a$ es una constante real positiva no nula.

Supongamos que $|ax|<1$ entonces utilizando la expansión en serie geométrica tenemos $$\frac{1}{1-ax}= \sum {a^n x^n } = \sum {f\left( n \right)x^n } . $$