Red de par de torsión sobre una superficie en el flujo de Stokes

Question

Estoy teniendo dificultad para ver cómo la red de par de torsión sobre una superficie en el flujo de Stokes es distinto de cero.

Para el flujo de Stokes, tenemos $\nabla\cdot\sigma = 0$ donde $\sigma$ es simétrica tensor de tensiones. La red de par de torsión sobre una superficie $S$ se define como $$ L = \int_S f\times x~ ds,$$ donde $f = \sigma\cdot n$ ($n$ ser la unidad normal a $S$). Escribiendo esto en el índice de la notación da $$L_i = \int_S \epsilon_{ijk}f_j x_k ~ds = \epsilon_{ijk}\int_S \sigma_{ij}n_i x_k~ds.$$ Aplicando el teorema de la divergencia $$\int_S \sigma_{ij}n_i x_k~ds = \int_V \partial_i (\sigma_{ij} x_k)~dV = \int_V x_k\partial_i\sigma_{ij}~dV + \int_V \sigma_{ij}\delta_{ik}~dV.$$

El primer volumen de la integral es cero, ya que $\nabla\cdot\sigma=0$, y el segundo es $\int_V \sigma_{kj}~dV$. La red de par de torsión es sólo $$ L_i = \epsilon_{ijk}\int_V \sigma_{kj}~dV,$$ que creo que es cero debido a la simetría de $\sigma$. Si $i=1$ por ejemplo obtenemos $L_1 = \int_V \sigma_{23} - \sigma_{32}~dV$. He cometido un error en alguna parte?

Answer 1

La aplicación de la divergencia y teorema de cálculo de cero neto de torsión es correcto, sólo suponiendo que $S$ es la totalidad de la superficie que delimitan una región $V \subset \mathbb{R}^3$, en el que el campo de velocidad de un flujo de Stokes se define.

Una conclusión de que la red par (o fuerza para que la materia) sobre un cuerpo es cero en el flujo de Stokes es incorrecta.

Supongamos que un cuerpo sólido ocupa $V'$ con líquido de ocupación $\mathbb{R}^3 \setminus V'.$ Deje $S = \partial V'$ ser el límite del cuerpo y deje $S_{\infty}$ el valor de la superficie de una gran esfera que encierra el cuerpo. Si $V$ denota la región delimitada por $S \cup S_{\infty}$, como se mostró,

$$\mathbf{L} = \int_{S \cup S_{\infty}} \mathbf{r} \times (\mathbf{\sigma} \cdot \mathbf{n}) \, dS = \int_{S } \mathbf{r} \times (\mathbf{\sigma} \cdot \mathbf{n}) \, dS + \int_{S_{\infty} } \mathbf{r} \times (\mathbf{\sigma} \cdot \mathbf{n}) \, dS = \mathbf{0},$$

donde la unidad de vectores normales de los puntos de la región de $V$.

De ello se sigue que

$$\mathbf{L}_{\text{body}} = \int_{S} \mathbf{r} \times (\mathbf{\sigma} \cdot \mathbf{n}) \, dS = -\int_{S_{\infty} } \mathbf{r} \times (\mathbf{\sigma} \cdot \mathbf{n}) \, dS, $$

y el par de torsión ejercida por el fluido sobre el cuerpo no necesita ser cero. La red de par de torsión sobre el fluido en la región $V$, sin embargo, es cero debido a que el flujo de Stokes es cuasi-estático con la inercia de efectos olvidados.

Por ejemplo, si una esfera de radio $R$ se mantiene fijo en un flujo rotativo donde$\mathbf{u} \to \mathbf{r} \times \mathbf{\Omega_{\infty}}$$|\mathbf{r}| \to \infty$, entonces se puede demostrar bajo condiciones de flujo de Stokes que la red de par de torsión sobre la esfera es

$$\mathbf{L}_{\text{sphere}} = 8\pi \mu R^3 \mathbf{\Omega}_{\infty}$$