Puede la ecuación de continuidad y de Bernoulli se contradicen unas a otras?

Question

Por favor tengan paciencia conmigo, soy un vencido matemático y estoy de auto-estudio de estos conceptos.

Una pregunta es la siguiente:

El agua fluye en una tubería de diámetro de 5 m a una velocidad de 10 m/s. Entonces fluye hacia abajo en un pequeño tubo de diámetro de 2 m. La altura entre el centro de secciones de la tubería es de 5 m. La densidad se supone uniforme sobre las secciones transversales. El medidor de presión en los Límites de 1 a 120 kPa. Calcular la velocidad a la menor sección de la tubería.

No hay ninguna razón por la que puedo ver a asumir flujo de masa continuidad no se aplica, y el uso de $v_1A_1 = v_2A_2$ se obtiene $v_2 = 62.5$ m/seg. Sin embargo, el uso de la ecuación de Bernoulli asumiendo que la presión atmosférica en la sección más pequeña, uno se $$ \frac{p_1}{\rho} + \frac{1}{2}v_1^2 + + gz_1 = \frac{p_2}{\rho}+\frac{1}{2}v_2^2 + gz_2 $$ $$ 120+ 50 + 5g = 0 + \frac{1}{2}v_2^2 + 0 $$ $$ v_2 = 20.93, $$ y de hecho esto es lo que el libro de texto de respuesta da. Estoy muy confundido en cuanto a por qué la masa de continuidad se aplica en otras situaciones, incluso con cambios en la presión, pero parece que no se aplican aquí.

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Mi pregunta es: es este libro de texto de la pregunta, a continuación, mal planteado? Me siento como si por proporcionar demasiada información sobre la sección de la tubería sin la comprobación de los cálculos, la pregunta es obligada a crear una contradicción. Los 5m/2m diámetros en realidad no lo hacen en la respuesta final.

EDIT: he añadido debajo de la única respuesta estoy satisfecho con que hace sentido a los datos. Por favor me corrija.

Answer 1

Asumimos que el agua es incompresible para $\rho = $ constante $ = 1000 \text{ kg m}^{-3}$. El uso masivo de continuidad, y suponiendo que ambos tubos están llenos, $$ v_1 A_1 = v_2A_2 $$ $$ 10 \cdot \pi(2.5)^2 = v_2 \cdot \pi(1)^2 $$ $$ v_2 = 62.5 \text{ ms}^{-1} $$ Sin embargo, podemos comprobar la resultante de la presión manométrica en el segundo de límite con el de Bernoulli y de encontrar $$ 120 + \frac{1}{2}(10)^2 + 5g = \frac{p_2}{1000} + \frac{1}{2}(62.5)^2 + 0 $$ $$ 170 + 5g = \frac{p_2}{1000} + 1953.125 $$ $$ p_2 = -1734 \text{ kPa} $$ Esto es imposible sin la cavitación ocurre. Podemos proceder de dos maneras: ya sea en la suposición de que ambas tuberías de ejecución completo es errónea, y la mayor parte superior de la tubería debe ejecutar parcialmente llenos, o las burbujas de aire formadas a partir de la cavitación, es más ligero que el agua, se elevará a la parte superior de la tubería. Ambos de estos efectivamente tienen el mismo resultado: la parte superior de la tubería parcialmente llena.

Asumimos que la cavitación se produce en la dura baja de la barrera de $-101$ kPa (calibre) en el segundo límite. Entonces $$ 120 + \frac{1}{2}(10)^2 + 5g = -101 + \frac{1}{2}(v_2)^2 + 0 $$ $$ v_2 = 25.3 \text{ ms}^{-1} $$ Volviendo a la masa de continuidad, asumiendo la parte inferior de la tubería está llena, $10A_1 = 25.3 \cdot \pi(1)^2$ y, por tanto,$A_1 = 7.95 \text{ m}^2$. Con un poco de geometría, esto se traduce a una profundidad de $2.12$ m en la parte superior de la tubería - justo por debajo de la mitad.