Así que estaba mirando el Fermat Primes . Estos son primos de la forma $2^k+1$ para un número natural $k$ tal que yo defino por $\mathbb{N}:=\big\{1,2,3,\ldots\big\}$ y $0\notin \mathbb{N}$ . Denotamos por $F_1$ el primer Fermat Prime; $F_2$ el segundo Fermat Prime; etc. hasta $F_k$ .
Hasta ahora, sin embargo, sólo $5$ Los Fermat Primes son conocidos. Son los siguientes, respectivamente: $$3,5,17,257,65537,\ldots$$ Yo escribo $(\ldots)$ porque asumo que existen más Fermat Primes, pero es una conjetura que los mencionados Fermat Primes son los sólo de los que
Se los presento en caso de que no los conozcan, porque mi pregunta se relaciona mucho con estos Fermat Primes.
Si $2^k+1$ es primordial, entonces debe ser cierto que $k$ es estrictamente un poder de $2$ ?
Me di cuenta de eso, $$\begin{align}3&=2^{2^0}+1\\ 5&=2^{2^1}+1 \\ 17&=2^{2^2}+1 \\ 257&=2^{2^3}+1 \\ 65537&=2^{2^4}+1.\end{align}$$
Intento de prueba:
Probé que $k$ es parejo, porque suponer lo contrario implica que $k=2j+1\,\exists j\in\mathbb{N}$ y $$2^k+1=2^{2j+1}+1=2^{2j+1}-(-1)^{2j+1}\stackrel{\centerdot}{:}2-(-1)=3.\tag*{$\bigg ( \begin {alineado}& \text { $a\stackrel{\centerdot}{:}b$ se lee como $a$ } \\ & \text {es divisible por $b$ .} \end {alinear} \bigg ) $}$$ Ergo, $2^k+1$ no es primordial si $k$ es impar; $k$ debe ser parejo. $\;\bigcirc$
Ahora si $k$ es parejo, entonces $k=2j$ y $$2^k+1=2^{2j}+1=4^j+1.$$ Si $j$ es impar, entonces de la misma manera, como se demostró antes de manera similar, $$4^j+1=4^j-(-1)^j\stackrel{\centerdot}{:}4-(-1)=5.$$ Ergo, $l\nmid k\,\exists l$ impar; $k$ debe ser un poder de $2$ ya que sólo entonces no tendrá divisores impar. $\;\bigcirc$
¿Mi prueba es correcta? No veo nada malo en ello, pero si es correcto, ¿hay otras pruebas (mejores)? Además, ¿hay algo nuevo en Fermat Primes; en particular, ¿hay alguna otra restricción general sobre $k$ ? ¿Hasta dónde se ha probado la conjetura? Comprobé la primera $250$ Fermat Primes y parece que la conjetura es cierta.
(Si quieres, puedes ir aquí escriba x=2;x=2x-1;c<=250;x y luego esperar un minuto antes de que el primer $250$ Aparecen los Fermat Primes. Todavía tengo que agradecer a uno de los usuarios de la MSE que me introdujo en el sitio accesible a través del enlace).
Gracias de antemano.
