La distribución límite de una secuencia de delta de Dirac

Question

He evaluar la siguiente distribución límite:

$$ \lim_{n \to \infty} T_n = \lim_{n \to \infty} \frac 1n \sum_{k=-2n}^{5n} \delta_{\frac kn}$$ Tenemos que $$\lim_{n \to \infty}\langle T_n, \phi\rangle =\lim_{n \to \infty} \frac 1n \sum_{k=-2n}^{5n} \phi\left({\frac kn}\right)$$ Ahora mi idea es usar una integral suma para evaluar este límite, en particular, sé que: $$ \lim_{n \to \infty}\underbrace{\frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^n g\left(a+\frac{b-a}{n}k\right)}_{\text{integral sum}} = \int_a^b g(x) \: \mathrm{d}x$$ así que me puse a $ \frac kn = a+\frac{b-a}{n}h=-2+\frac 7n h \implies h=\frac{k+2n}{7}$, y sustituyendo esto en mi adición de recibir: \begin{align} \lim_{n \to \infty} \frac 1n \sum_{k=-2n}^{5n} \phi\left({\frac kn}\right) &= \lim_{n \to \infty} \frac 1n \sum_{h=0}^{n} \phi\left(-2+\frac 7n k\right)\\ & =\lim_{n \to \infty} \frac 17 \frac 7n \sum_{h=0}^{n} \phi\left(-2+\frac 7n k\right)\\ &=\frac 17 \int_{-2}^{5} \phi(x) \: \mathrm{d}x \end{align}

Es eso correcto? Porque mi libro dice que el resultado debe ser lo que tengo pero sin que $\frac 17$ coeficiente.

EDIT: me acabo de dar cuenta que mi sustitución de $h=\frac{k+2n}{7}$ no parece correcto desde $h$ no es un entero, en general, como $k$ varía... así que cualquier idea?

Answer 1

No estoy seguro de si uno puede ver directamente que la suma es el derecho de Riemann suma (supongo que depende un poco de la defintions). Pero podemos hacer lo siguiente: fix $\varepsilon>0$. Desde $\phi$ es continua en a $[a,b]$, es uniformemente continua. De modo que existe $\delta>0$ $|\phi(x)-\phi(y)|<\varepsilon$ siempre $|x-y|<\delta$. Entonces, si $n>1/\delta$, \begin{align} \left|\frac1n\,\phi\left(\frac kn\right)-\int_{k/n}^{(k+1)/n}\phi(t)\,dt\right| &=\left|\int_{k/n}^{(k+1)/n}(\phi(k/n)-\phi(t))\,dt \right|\\ \ \\ &\leq\int_{k/n}^{(k+1)/n}|\phi(k/h)-\phi(t)|\,dt\\ \ \\ &\leq\frac{\varepsilon}n. \end{align} Así \begin{align} \left| \frac 1n \sum_{k=-2n}^{5n} \phi\left(\frac kn\right) -\int_{-2}^5\phi(t)\,dt \right| &=\left|\sum_{k=-2n}^{5n}\int_{k/n} ^{(k+1)/n}\left[ \phi\left(\frac kn\right) -\phi(t)\right]\,dt\right|\\ \ \\ &\leq\sum_{k=-2n}^{5n}\frac{\varepsilon}{n}=7\varepsilon. \end{align} Como $\varepsilon$ fue arbitrario, tenemos que $$ \lim_{n \to \infty} \frac 1n \sum_{k=-2n}^{5n} \phi\left({\frac kn}\right) =\int_{-2}^5\phi(t)\,dt. $$

Answer 2

El espaciamiento entre el punto de evaluaciones es $1/n$, no $7/n$, debido a que tiene asintóticamente $7n$ puntos en lugar de $n$ puntos.