Colorear 10 puntos para formar triángulos equiláteros

Question

Supongamos que tenemos 10 puntos dispuestos en forma de triángulo como se muestra a continuación.

Colorea los puntos de modo que algunos sean rojos y el resto azules. Demuestra que, independientemente de cómo coloreemos los puntos, se puede formar un triángulo equilátero con tres puntos del mismo color.

Cualquier consejo o pista es muy apreciada.

Answer 1

Etiquete los puntos como

   a
  b c
 d e f
g h i j

Supongamos que es posible colorear los puntos de modo que no haya triángulos equiláteros formados por puntos del mismo color. WOLOG, podemos suponer $e = R$ .

Sea $\mathcal{E}$ sea la colección de $3$ puntos que forman un triángulo equilátero.

1. Desde $\{ b, f, h \} \in \mathcal{E}$ al menos uno de los siguientes $b, f, h$ es $R$ .
   Gire la configuración si es necesario, podemos suponer $h = R$ .

2. Desde $\{ d, e, h \}, \{ h, e, i \} \in \mathcal{E}$ y $e = h = R$ tenemos $d = i = B$ .

3. Desde $\{ d, i, c \} \in \mathcal{E}$ y $d = i = B$ tenemos $c = R$

4. Desde $\{ b, e, c \}, \{ e,f,c \} \in \mathcal{E}$ y $e = c = R$ tenemos $b = f = B$ .

5. Desde $\{ a, d, f \} \in \mathcal{E}$ y $d = f = B$ tenemos $a = R$ .

6. Desde $\{ b, g, i \} \in \mathcal{E}$ y $b = i = B$ tenemos $g = R$ .

7. Desde $\{ i, f, j \} \in \mathcal{E}$ y $f = i = B$ tenemos $j = R$ .

8. Por último $\{ a, g, j \} \in \mathcal{E}$ pero $a = g = j = R$ ¡Una contradicción!

El procedimiento de decisión se ilustra a continuación. Los subíndices indican en qué paso se determina el color correspondiente. $$ \color{red}{a_5}\\ \color{blue}{b_4} \quad \color{red}{c_3}\\ \color{blue}{d_2} \quad \color{red}{e_0} \quad \color{blue}{f_4}\\ \color{red}{g_6} \quad \color{red}{h_1} \quad \color{blue}{i_2} \quad \color{red}{j_7}\\ $$

Answer 2

Coge papel y boli y empieza a colorear. Intenta evitar un triángulo monocromático, y mira que te ves obligado a hacer uno de todos modos.

Cada triángulo debe tener dos de un color y uno del otro. Elijamos el triángulo más grande, ya que parece tener la mayor intersección con los otros triángulos. Como no hay nada especial en ninguno de los dos colores, que haya dos azules y uno rojo:

El triángulo más pequeño de arriba tiene ahora 1 rojo, así que los otros dos deben ser azules, o uno rojo y otro azul.

CASO I:

Ahora tenemos 3 triángulos que tienen dos círculos azules, que obligan a que su tercer círculo sea rojo:

¡Oh, no! Nos hemos visto obligados a hacer un triángulo rojo.

CASO II

Tenemos un rojo y un azul en nuestro triángulo superior. Por simetría no importa cuál es cuál.

Y de nuevo coloreamos lo que nos vemos obligados a colorear para evitar un triángulo monocromático.

Y de nuevo nos hemos visto obligados a hacer un triángulo con todos del mismo color. Por lo tanto, no importa cómo procedamos con la coloración, hay un triángulo monocromático.

Answer 3

Los seis puntos alrededor del punto central forman dos triángulos equiláteros. Es evidente que no puede haber cinco puntos del mismo color. Si ambos colores aparecen exactamente tres veces en estos seis puntos, obtenemos un triángulo equilátero de un color, teniendo en cuenta el color del punto central si es necesario. Por lo tanto, un color aparece cuatro veces y el otro dos, y el color central es el otro color. Así pues, los colores forman tres bandas en alguna dirección, y ahora cualquier coloración del punto de la esquina produce un triángulo equilátero de un color.

Answer 4

Numera los puntos del siguiente modo: $$\matrix{ &&&\color{blue}{\cdot1}&&&\cr &&\cdot2&&\cdot3&&\cr &\cdot4&&\cdot5&&\cdot6&\cr \color{red}{\cdot7}&&\cdot8&&\cdot9&&\color{red}{\cdot10}\cr}$$ Podemos suponer que $\cdot7$ y $\cdot10$ son rojos, y que $\cdot1$ es azul. Entonces:

• $\cdot8$ y $\cdot9$ ambos rojos es imposible.
• $\cdot8$ rojo y $\cdot9$ azul impone $\cdot3$ y $\cdot4$ azul, creando un triángulo azul prohibido: $$\matrix{ &&&\color{blue}{\cdot1}&&&\cr &&\cdot2&&\cdot3&&\cr &\cdot4&&\cdot5&&\cdot6&\cr \color{red}{\cdot7}&&\color{red}{\cdot8}&&\color{blue}{\cdot9}&&\color{red}{\cdot10}\cr}$$
• $\cdot8$ y $\cdot9$ ambos azules aplican $\cdot5$ rojo. De ello se deduce que $\geq1$ de $\cdot2$ y $\cdot4$ así como $\geq1$ de $\cdot3$ y $\cdot6$ tienen que ser azules. Sea como sea, obtendremos un triángulo azul prohibido. $$\matrix{ &&&\color{blue}{\cdot1}&&&\cr &&\cdot2&&\cdot3&&\cr &\cdot4&&\color{red}{\cdot5}&&\cdot6&\cr \color{red}{\cdot7}&&\color{blue}{\cdot8}&&\color{blue}{\cdot9}&&\color{red}{\cdot10}\cr}$$

Answer 5

¿Está seguro de que es cierto? No encuentro tal triángulo aquí:

Ya veo. $13$ triángulos equiláteros aquí, pero ninguno de ellos tiene $3$ puntos del mismo color ... ¿qué me estoy perdiendo?

EDITAR

Vale, ya veo lo que me he perdido:

Bueno, tómate este post como una pista: ¡puede que haya más triángulos de los que crees! :)

De hecho, hay $15$ triángulos equiláteros, no $13$