Demuestre que la esfera es la única superficie cerrada en $\mathbb{R}^3$ que minimice la relación superficie/volumen.

Question

Es bien sabido que una esfera minimiza la relación superficie/volumen ya que alcanza la igualdad en el Desigualdad isoperimétrica . Intento demostrar que ninguna otra superficie cerrada tiene esta propiedad.

Como la desigualdad dice que $36\pi V^2 \leq A^3$ podemos plantear el problema como:

Dejemos que $\mathcal{S}$ sea una superficie simple y cerrada en $\mathbb{R}^3$ con superficie $4\pi$ . Demostrar que si su volumen es $\dfrac{4}{3}\pi$ entonces $\mathcal{S} = \mathbf{S}^2$ .

Mi hipótesis:

Si hay una superficie $\mathcal{S}\neq \mathbf{S}^2$ pero con la misma relación superficie/volumen, entonces existe una función $F(t,x):I\times \mathbf{S}^2\to \mathbb{R}^3$ para que:

$$F(t,x_0) \text{ is continuous }\forall x_0\in\mathbf{S}^2$$ $$F(t_0,\mathbf{S}^2) \text{ is a simple closed surface }\forall t_0\in I$$ $$F(0,\mathbf{S}^2) = \mathbf{S}^2\qquad F(1,\mathbf{S}^2) = \mathcal{S}$$ $$F(0,\mathbf{S}^2) \cong F(t,\mathbf{S}^2)\qquad \forall t\in I$$ $$V(F(t,\mathbf{S}^2)) = \frac{4}{3}\pi\qquad A(F(t,\mathbf{S}^2)) = 4\pi\qquad \forall t\in I$$

Dónde $\cong$ se refiere a la equivalencia mediante una función biyectiva, y $V(X)$ y $A(X)$ son, respectivamente, las funciones de volumen y superficie.

En otras palabras, existe algún tipo de homeomorfismo continuo entre ambas superficies que conserva tanto el volumen como la superficie.

Entonces, utilizando el cálculo de variaciones podemos demostrar que si una superficie es "casi" una esfera, tiene una $S/V$ por lo que no puede existir tal función $F$ y por lo tanto no existe tal superficie $\mathcal{S}$ .

Quizá mi hipótesis sea falsa. Siéntase libre de probar la afirmación sin usarla.

Answer 1

Si no me equivoco, la declaración

La esfera es la única superficie cerrada en $\Bbb R^3$ que minimice la relación superficie/volumen.

es equivalente a cualquiera de las siguientes afirmaciones:

1. La esfera es la única superficie cerrada en $\Bbb R^3$ que minimiza la superficie, volumen cerrado fijo.
2. La esfera es la única superficie cerrada en $\Bbb R^3$ que maximiza el volumen encerrado, superficie fija.

Voy a intentar esbozar una prueba de la primera afirmación.

---

Declaración:

Supongamos que $\mathcal S$ es una variedad cerrada (riemanniana) en 2D incrustada en $\Bbb R^3$ con volumen cerrado $V$ . Entonces $\mathcal S$ tiene una superficie mínima posible $\implies\mathcal S = S^2$ .

Prueba (esquema):

1. Tomemos una 2manifold compacta de Riemann arbitraria $\mathcal{M}$ de volumen cerrado $V$ incrustado en $\Bbb R^3$ .
2. Recordemos que una superficie se llama mínima si minimiza el área.
   • Las superficies mínimas son los minimizadores del flujo de curvatura media, es decir, tienen una curvatura media constante [1] . _(Esta relación se apoya en la fórmula de la primera variación del área [2] que describe la relación entre la superficie total y su curvatura media)_ .
3. Bajo el flujo de curvatura media que supone el volumen, cualquier superficie compacta evolucionará hacia una superficie compacta con curvatura media constante.
   • La curvatura media de la superficie compacta en $\Bbb R^3$ no puede ser cero, porque el principio de máximo para funciones armónicas implica que no hay superficies completas compactas de curvatura media cero en $\Bbb R^3$ .
4. La única superficie en $\Bbb R^3$ con curvatura constante no nula es la esfera $S^2$ [2] .
   • Superficies cerradas en $\Bbb R^3$ no puede tener una curvatura media cero, por lo tanto el único superficie que minimiza su área para un volumen fijo es $S^2$ .

De hecho, estas conclusiones están respaldadas por las derivaciones formales en [1, sec. 9-10] donde se demuestra que bajo el flujo de curvatura media de volumen, cualquier superficie compacta evolucionará a esfera.

---

En relación con su prueba, se puede argumentar que si la superficie $\mathcal S$ tiene el mismo volumen y superficie que $S^2$ entonces también debe tener la misma curvatura media (constante y no nula). De lo contrario, no sería un minimizador del flujo de curvatura media que preserva el volumen, es decir, podría haberse deformado en algo con el mismo volumen pero con una superficie menor. Pero si tiene la misma curvatura media constante no nula que $S^2$ entonces debe coincidir con $S^2$ por Teorema de Alexandrov los. Contradicción.

Answer 2

El problema de demostrar que la superficie con área mínima que encierra un volumen dado es una esfera no es nada sencillo.

Utilizando el cálculo de la variación podemos demostrar que la superficie debe tener una curvatura constante. Hago un esbozo de la prueba:

Dada una superficie lisa y cerrada $S$ en $\mathbb{R}^3$ , dejemos que $A$ su área y $V$ el volumen encerrado. Como superficie variada considere la superficie $S(t)$ obtenida al desplazar cada punto de $S$ por un vector $th\vec n$ , donde $\vec n$ es la normal a la superficie y $h$ es una función suave de valor real $h:S\rightarrow \mathbb{R}$ . Las primeras variaciones del área y el volumen son:

$$ A'(0)=-\int_ShHdA \qquad V'(0)=\int_ShdA $$

donde $H$ es la curvatura media de la superficie con respecto a la normal.

Ahora, para tener el área mínima para un volumen dado, debe ser cierto que siempre que $V'=0$ también $A'=0$ Así que $H$ debe ser una constante en $S$ .

Pero ahora se trata de demostrar que una superficie de curvatura media constante es necesariamente una esfera y esto se puede demostrar, pero la prueba no es sencilla. Una primera prueba fue dada por Liebmann en 1900 para superficies compactas estrictamente convexas, generalizada por Aleksandrov en 1962 a superficies con algún tipo de auto-intersección. Pero, por lo que sé, la cuestión de la posible existencia de superficies de cualquier tipo topológico con autointersección y curvatura media constante, no tiene respuesta.

Para un tratamiento completo de este tema puede ver aquí .