¿Por qué se alinean estos días de la semana?

Question

Yo voy al gimnasio todos los lunes/miércoles/viernes mientras que un amigo mío va cada 3 días sin importar el día. Unas dos semanas típicas podrían ser así:

     Su | M | T | W | R | F | Sa | Su | M | T | W | R | F | Sa
 ME:      X       X       X             X       X       X
HIM:          X           X             X           X

Para mi sorpresa, he observado que lo veo exactamente una vez a la semana. Decidí mirarlo desde una perspectiva matemática.

Está claro que el número de veces a la semana que le veo tiene un límite superior de 1. Si le veo el lunes, vendrá el jueves y no le veré el miércoles/viernes. La misma lógica se puede utilizar para si le veo el miércoles/viernes.

Sin embargo, no estoy seguro de por qué el límite inferior aquí es 1. Mi intuición me dice que tiene algo que ver con el módulo 7, ya que los días que viene al gimnasio son cíclicos (esto también tendría algún tipo de sentido ya que vengo al gimnasio cada dos días 3 veces mientras que él viene cada 3 días y su ciclo se repite cada 3 semanas) pero no puedo dar el salto matemático.

También traté de generalizar. ¿Qué pasa si vengo durante 3 días que son cada uno 1 aparte? Entonces es obvio que lo veré exactamente una vez. ¿Pero qué pasa si vengo 3 días que están cada uno con 4 días de diferencia?

Puedo forzar esto para descubrir que tengo razón, pero intuitivamente, ¿por qué nuestros días se alinean exactamente una vez a la semana?

Answer 1

Pensemos en los números $0, 1, \ldots, 6, \ldots$ como los días a partir de algún domingo.

Luego, cada lunes, miércoles y viernes, significa $\{7n + 1, 7n + 3, 7n + 5\}$ .

"Cada tres días" son todos los días de la forma $3n + k$ , donde $k \in \{0, 1, 2\}$ . Equivalentemente, estos son todos los días que son $\equiv k \pmod 3$ .

Tomando $\{\rm M, W, F\}$ modulo $3$ obtenemos $\{n+1, n, n+2\}$ que es lo mismo que $\{0,1,2\}$ Así, uno de los lunes, miércoles y viernes es $k \pmod{3}$ . Así, para cualquier $k$ Hay un día que coincide con ambos conjuntos.

Answer 2

Tome tres números cualesquiera de la forma $n,n+2,n+4$ para algunos $n\in\Bbb N$ . Entonces uno de ellos, y exactamente uno, es un múltiplo de $3$ .

Esto se debe a que $2$ es un generador del grupo cíclico de orden $3$ , $\Bbb Z/3\Bbb Z$ .

Answer 3

Está claro que el número de veces a la semana que le veo tiene un límite superior de 1. Si le veo el lunes, vendrá el jueves y no le veré el miércoles/viernes. La misma lógica se puede utilizar para si le veo el miércoles/viernes.

Una lógica similar funciona a la inversa. Como viene cada tres días, tendrá que estar allí el lunes, el martes o el miércoles:

• Si viene el lunes, lo verás el lunes.
• Si viene el martes, también vendrá el viernes, y lo verás el viernes.
• Si viene el miércoles, lo verás el miércoles.

Así que también hay un límite inferior de 1.

Si se van tres días con cuatro días de diferencia, se pueden numerar como $n$ , $n+4$ y $n+8$ . Modulo 3, estos son $n$ , $n+1$ y $n+2$ . Se cubren todos los restos módulo 3, por lo que exactamente uno de estos días coincide con el ciclo de cada tres días de la otra persona.

Por otro lado, si fueras en días con tres de diferencia (o cualquier múltiplo de tres), entonces tu ciclo parcial estaría bloqueado con el ciclo de la otra persona, y lo verías cada vez, o nunca.

Answer 4

Tu patrón se repetiría cada 2 días si no incluyeras el domingo. Mirando los seis días de lunes a sábado, tu patrón es:

X-X-X- (1, 3, 5)

que son todos los números de impar, si el lunes es el día 1.

Tu amigo va cada 3 días y su patrón cambia en comparación con el tuyo:

X--X-- (1, 4)
-X--X- (2, 5)
--X--X (3, 6)

Sólo uno de sus días será impar, el otro será par para los seis días superpuestos. Por eso, siempre será un día a la semana que estará en el gimnasio en el mismo día.

Answer 5

Viene cada tres días, por lo que en una semana cualquiera viene todos los días con números congruentes a x módulo 3, sólo que la x cambia de una semana a otra, pero se puede suponer que es 0, 1 o 2.

Tú, en cambio, entras en los días 0, 2 y 4. Módulo 3, es decir, 0, 2, 1. Así que estará allí exactamente uno de tus días.

Lo que hace que esta configuración particular funcione: Viene en cada $n$ días, llegas exactamente en $n$ días, y los días en los que entra son $m$ aparte, donde $m$ es relativamente primo de $n$ (para que $0$ , $m$ , $2m$ , ..., $(n-1)m$ son todos diferentes modulo $n$ ).