¿Hay algún patrón?

Question

Yo estaba de programación y me di cuenta de que el último dígito de todos los números enteros, el cuadrado de la final en $ 0, 1, 4, 5, 6,$ o $ 9 $.

Y además, los números que terminan en $ 1, 4, 9, 6 $ se repite dos veces tantas veces como los números que terminan en $ 0, 5$

He comprobado los números de$1$$1000$, y los resultados son:

$1.$ Los números de la izquierda son el último dígito de cada número al cuadrado.

$2.$ Los números de la derecha son el número de veces que el último dígito que se repite.

$$ \begin{array}{cc} 0: &100, \\ 1: &200, \\ 4: &200, \\ 5: &100, \\ 6: &200, \\ 9: &200 \end{array} $$

Así que, ¿por qué sucede esto? ¿Qué es la propiedad que todos los números enteros tienen?

Answer 1

La respuesta a esta pregunta es un poco menos profundo de lo que usted podría esperar. Para ver por qué, en primer lugar observamos que el último dígito de que el cuadrado de cualquier número natural sólo depende del número del último dígito - cualquier otro dígitos representan potencias de 10 y no hace ninguna diferencia para el último dígito de la plaza.

Así el problema se reduce a resolver el último dígito de los cuadrados de los números de un solo dígito (y 10, si no consideramos a 0 un número natural). Ellos son:

1. 1
2. 4
3. 9
4. 6
5. 5
6. 6
7. 9
8. 4
9. 1
10. 0

Las frecuencias relativas de estos últimos dígitos de aquí a explicar por qué asumir las proporciones de los cuadrados de los números que usted observe.

Answer 2

Estos son los números de plazas modulo 10. Observe que el cuadrado de un número $10n+k$ es $$ (10n+k)^2 = 10(10n^2+2nk)+k^2, $$ así que el último dígito de la plaza está determinado por sólo el último dígito del número original. En particular, nos encontramos con $$ 0^2=0 \quad 1^2=1 \quad 2^2 = 4 \quad 3^2 = 9 \quad 4^2 = 10+6 \\ 5^2 = 20+5 \quad 6^2 = 30+6 \quad 7^2 = 40+9 \quad 8^2 = 60+4 \quad 9^2 = 80+1, $$ o escribir "$\equiv$" quiere decir que tengan la misma último dígito, $$ 0^2 \equiv 0 \\ 1^2 \equiv 1 \equiv 9^2 \\ 2^2 \equiv 4 \equiv 8^2 \\ 3^2 \equiv 9 \equiv 7^2 \\ 4^2 \equiv 6 \equiv 6^2 \\ 5^2 \equiv 5, $$ así que cada último dígito con la excepción de $0$ $5$ es el último dígito de dos plazas a partir de un bloque de 10 números consecutivos, mientras que $0$ $5$ son el último dígito de sólo uno de cada.

Answer 3

Otros han cubierto la razón por la que el último dígito del número de cuadrar es todo lo que importa. También hay una buena razón por la que algunos dígitos aparecen dos veces y otros que aparecen una vez. El punto es que si $k$ es cualquier dígito, a continuación, $(10-k)^2=100-20k+k^2$ tiene la misma último dígito como $k$, lo que para cualquier $k$ otros de $0$ o $5$ hay otro dígito cuyo cuadrado termina en lo mismo. ($0$$5$ son especiales porque $10-0$ no es un dígito y $10-5=5$.) La misma cosa se aplica en cualquier base, con la salvedad de que sólo hay un análogo de la $5$, incluso en bases ($5=10/2$); en impar bases de cada $k$ con la excepción de $0$ viene en un par.

(Este argumento indica inmediatamente que en base a $b$, plazas puede tener en la mayoría de $1+\lfloor b/2\rfloor$ posible últimos dígitos. De hecho, esta obligado se alcanza si y sólo si $b$ es un primer o dos veces por una extraña prime.)

(Para responder a Vignesh Manoharan: La envolvente es exacta si y sólo si para cualquier $a$ las únicas soluciones a $x^2\equiv a^2$ mod $n$ $x\equiv\pm a$ mod $n$. Como usted dice, esto es equivalente a $n\mid (x-a)(x+a)$ implica $n\mid (x-a)$ o $n\mid (x+a)$, lo que es cierto para $n$ prime. Pero es también cierto para $n=2p$ donde $p$ es un extraño primo, ya $p$ dividirá uno de los factores, y $2$ debe dividir tanto como difieren por un número par. No es cierto si $n=qr$ donde $q,r>1$ son de la misma paridad, mediante el establecimiento $x=(q+r)/2$$a=(q-r)/2$; cualquier otra base tiene una factorización de este formulario.)

Answer 4

Lo que estamos viendo es que los residuos de plazas modulo $10$.

$0^2=\color{red}0\bmod 10\\1^2=\color{blue}1\bmod 10\\2^2=\color{orange}4\bmod 10\\3^2=9\bmod 10\\4^2=\color{green}6\bmod 10\\5^2=\color{brown}5\bmod 10\\6^2=\color{green}6\bmod 10\\7^2=9\bmod 10\\8^2=\color{orange}4\bmod 10\\9^2=\color{blue}1\bmod 10$

Como se puede ver, $0$ $5$ son de la mitad de tan frecuentes como los otros residuos que son, de hecho,$1,4,6,9$.

Answer 5

Tenga en cuenta que cualquier número puede ser escrito en la forma $10a+(5 \pm b)$ donde $0 \leq b \leq 5$. Si n = $10a+(5 \pm b)$, entonces se puede calcular $n^2$

$(10a)^2+2(10a)(5 \pm b) + (5 \pm b)^2=$
$100a^2 + 100a \pm 20ab+(5 \pm b)^2$

$100a^2$, $100a$, y $\pm 20ab$ son todos divisibles por 10, por lo que podemos ignorarlos, y nos quedamos con $(5 \pm b)^2 = 25 \pm 10b +b^2$. De nuevo, podemos ignorar $\pm10b$, y podemos reducir de 25 a 5, dejando $5+b^2$. Tenga en cuenta que el $\pm$ parte ha desaparecido; $(10a+(5 + b))^2$ tiene la misma último dígito como $(10a+(5 - b))^2$. Así que, normalmente, cada valor de $b$ da el mismo resto dos veces, una para $+b$ y de una vez por $-b$. Pero si $b=0$, $+b$ $-b$ son el mismo número, por lo que da el resto sólo una vez. Y si $b=5$, $5-b$ 0, $5+b$ da 10, que también corresponde al último dígito de 0.

Por lo tanto tenemos:

$b = 0$: el último dígito de la $n$ es 5, el último dígito de la $n^2$ es de 5
$b = 1$: el último dígito de la $n$ es de 4 o 6, el último dígito de la $n^2$ es de 6
$b = 2$: el último dígito de la $n$ es de 3 o 7, el último dígito de la $n^2$ 9
$b = 3$: el último dígito de la $n$ es de 2 o 8, el último dígito de la $n^2$ es de 4
$b = 4$: el último dígito de la $n$ es de 1 o 9, el último dígito de la $n^2$ es 1
$b = 5$: el último dígito de la $n$ es 0, el último dígito de la $n^2$ 0

Por lo tanto, el 0 y el 5 se muestran una vez, mientras 1,4,6, y 9 se muestran dos veces.