Muestran que sistema $(I)$ % estable iff $X(t)$es limitado.

Question

Tengo un teorema:

Para un lineal homogénea del sistema: $$\dfrac{dx}{dt}=A(t)x \tag{I}$$

Donde $A(t)=(a_{ij}(t))_{n \times n} \in C(\mathbb{R}^+,\mathbb{R}^{n \times n})$

Supongamos que $X(t)$ ser la matriz fundamental de soluciones del siguiente sistema de referencia $(I)$.

Deje $K(t,s)=X(t)X^{-1}(s)$ ser la matriz de Cauchy de la siguiente referencia de sistema de $(I)$.

Probar que:

• un/ Sistema $(I)$ es estable iff $X(t)$ es acotado, significa $\exists M>0$ tal que $$\|X(t)\| \le M, \forall t \ge 0 $$

• b/ Sistema $(I)$ es asintóticamente estable iff $$\lim_{t \to +\infty}X(t)=0$$

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Me he quedado cuando trato de demostrar este teorema.

He intentado usar la definición de estable asintóticamente estable. Pero yo no tengo ninguna solución.

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Ps: (O) si alguien sabe/lee este teorema (libro/pdf/djvu...), entonces usted puede publicar.

Alguien me puede ayudar!

Cualquier ayuda será apreciada! Gracias/

Answer 1

Aquí está mi solución para la Pregunta a:

un/ Una lineal homogénea de sistema de $\dot{x}=A(t)x$ es estable iff $X(t)$ está acotada.

Sin pérdida de generalidad podemos suponer que $X(t_0)=E$,$x(t)=X(t)x_0$.

• Si $X(t)$ está acotada. De dónde $$\left \| x(t) \right \|=\left \| X(t)x_0 \right \| \le \left \| X(t) \right \| \left \| x_0 \right \| \le M\left \| x_0 \right \|<\epsilon, \text{for}\left \| x_0 \right \|<\delta:=\frac{\epsilon}{M}$$ Por lo tanto, $x \equiv 0$ es estable.

• Si $x \equiv 0$ es estable. De dónde

$$\forall \varepsilon >0, \exists \delta >0 \ \text{such that}\ \left \| x_0 \right \| \le \delta \implies \left \| x(t) \right \| = \left \| X(t)x_0 \right \| < \epsilon, \forall t \ge t_0$$ Por lo tanto $$\left \| X(t)\alpha \right \|=\left \| X(t)\alpha \cdot \dfrac{\delta}{\left \| \alpha \right \|}\right \|\cdot \dfrac{\left \| \alpha \right \|}{\delta}<\dfrac{\epsilon}{\delta}\left \| \alpha \right \|, \forall \alpha \in \mathbb{R}^n$$ Por lo tanto, $\left \| X(t) \right \| \le M:=\dfrac{\epsilon}{\delta} \blacksquare $.

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Mi solución para la Pregunta b:

• Si $\lim_{t \to \infty}X(t)=0$ desde $x(t)=X(t)X^{-1}(t_0)x_0$ tenemos: $$\left \| x(t) \right \| \le \left \| X(t) \right \|\cdot \left \| X^{-1}(t_0)\right \|\cdot \left \| x_0 \right \|$$ Por lo tanto, $\lim_{t \to \infty}\left \| x(t;t_0,x_0) \right \| =0$, forall $x(t)$$(I)$.

Por lo tanto, $(I)$ es asintóticamente estable.

• Si $(I)$ es asintóticamente estable. Cómo podemos mostrar que $\lim_{t \to \infty}X(t)=0$?

Answer 2

El paso clave es tener en cuenta que el $x(t)=K(t,s)x_0$ resuelve el problema de valor inicial

$$ \dot x(t)=A(t)x(t)\\ x(s)=x_0. $$

Ahora se acaba de tomar las definiciones de la estabilidad y el uso de $x(t)=K(t,s)x_0=X(t)X^{-1}(s)x_0$. Además, tenga en cuenta que $X^{-1}(s)x_0$ es un vector constante para que pueda ser absorbido en alguna otra constante cuando usted toma la norma.

Suponga que el punto de equilibrio está en el origen (siempre se puede hacer).

Estable $\iff$ $||x(t)||< M $ $\iff$ $|| X(t)X^{-1}(s)x_0 ||=||X(t)||\cdot||X^{-1}(s)x_0||<M$ $\iff$ $ || X(t)||<\frac{M}{||X^{-1}(s)x_0||}=P $.

La división está bien definido, por lo $P$ es otra constante.

Exponencial De La Estabilidad $\iff$ $||x(t)||< Me^{-ct}, \, c>0, \, t>s $ $\iff$ $|| X(t)X^{-1}(s)x_0 ||=||X(t)||\cdot||X^{-1}(s)x_0||<Me^{-ct}$ $\iff$ $ || X(t)||<\frac{Me^{-ct}}{||X^{-1}(s)x_0||}=Pe^{-ct} $. Siguiente, $\displaystyle\lim_{t\to\infty}Pe^{-ct}=0$.