Nullstellensatz para campos cerrados no algebraicos

Question

Intento demostrar que la Nullstellensatz se cumple para campos no cerrados algebraicamente, cuando la variedad se toma sobre el cierre algebraico. Sea $R=K[x_1,...,x_n]$ y $\overline{K}$ el cierre algebraico de $K$ . Pude demostrar que $\sqrt{I}\subseteq \mathcal{I}_R(\mathcal{V}_{\overline{K}^n}(I))$ para cualquier ideal $I$ . Estoy luchando un poco con la otra dirección. Mi intento es el siguiente:

Está claro que dado cualquier ideal $J$ , $V_{K^n}(J)\subseteq \mathcal{V}_{\overline{K}^n}(J)$ . Aplicando $\mathcal{I}_{\overline{K}^n}$ invierte el orden, por lo que tenemos: $$\mathcal{I}_{\overline{K}^n}(V_{K^n}(J))\supseteq \mathcal{I}_{\overline{K}^n}(\mathcal{V}_{\overline{K}^n}(J))=\sqrt{I}$$ donde la igualdad es sólo la Nullstellensatz normal. No sé si esta idea parece fructífera ya que no he podido conseguir la inclusión inversa. Cualquier idea sobre cómo mostrar esta dirección sería muy apreciada.

Answer 1

Este resultado aparece en la sección 11.2.1 de mis apuntes de álgebra conmutativa bajo el nombre de Semirational Nullstellensatz (que no es estándar, pero parece ampliamente razonable). La prueba no es trivial. (Utiliza algo que yo llamo El lema de Lang .) Tal vez haya un enfoque más directo -de hecho, el ejercicio al final de la sección parece preguntar sobre esto- y si es así me interesaría saberlo.