Solución de una oda con exponentes de la variable dependiente

Question

Tengo la siguiente ecuación a resolver, creo que es justo el caso de Fundación un cambio adecuado de variables, pero no podía pensar en nada: $$y'' + (y')^2 = 2e^{(-y)}.$ $

¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Conjunto de $u=e^{y}$. Luego $y=\log{u}$y $y'=u'/u$, $y''=u''/u-u'^2/u^2$. Sustituyendo en, $$ \left( \frac{u''}{u}-\frac{u'^2}{u^2} \right) + \left( \frac{u'}{u} \right)^2 = \frac{2}{u}. $ $ y $u''=2,$ y sin duda te puede llevar a cabo fácilmente.

Answer 2

$$u=e^y,u'=e^yy',u''=e^yy'^2+e^yy''$$

Por lo tanto la ecuación se reduce a

$$u''=2,u=x^2+ax+b$$ $$e^y=x^2+ax+b$$