Espacio topológico en el que los filtros principales son los únicos que convergen

Question

Dejemos que $(X, \mathcal{T})$ sea un espacio topológico en el que sólo convergen los filtros principales. Demuestre que $\mathcal{T}$ es la topología discreta.

Es similar a una de mis preguntas anteriores (enlace: Espacio topológico en el que cada filtro en el que cada filtro converge a cada punto ), pero necesita un enfoque diferente que (todavía) no se me ocurre.

Definiciones utilizadas (en aras de la coherencia):

• Un filtro es un conjunto no vacío $\mathcal{F}$ para los que se cumplen las siguientes propiedades: $\mathcal{F}$ no contiene el conjunto vacío; para cada $F \in \mathcal{F}$ tal que $F \subset G, G \in \mathcal{F}$ se mantiene; para cada $F \in \mathcal{F}$ y $G \in \mathcal{F}$ también $F \cap G \in \mathcal{F}$ .
• Un filtro principal generado por un conjunto $A \subset X$ es el conjunto $\{F \subset X \vert A \subset F\}$ .
• Un filtro $\mathcal{F}$ converge a $x \in X$ si el filtro de vecindad de $x$ está contenida en $\mathcal{F}$ o, de forma equivalente, para cada $V$ en el filtro de vecindad de $x$ existe un elemento $F \in \mathcal{F}$ tal que $F \subset V$ .
• Un subconjunto $V \subset X$ se denomina vecindad de $x$ si existe un conjunto abierto $T \in \mathcal{T}$ tal que $x \in T \subset V$ .
• El filtro de vecindad de $x$ es el conjunto de todas las vecindades de $x$ .

Answer 1

Esto no es cierto; por ejemplo, si $X$ sólo tiene un número finito de puntos, entonces todo filtro en $X$ es principal, por lo que la condición se cumple de forma bastante trivial para cualquier topología sobre $X$ .

Es cierto si se asume $X$ es $T_1$ . Para demostrarlo, hay que tener en cuenta que para cualquier $x\in X$ el filtro de vecindad de $x$ converge a $x$ y por lo tanto debe ser principal, generado por algún conjunto $A$ . Si $A$ contiene cualquier punto que no sea $x$ Ahora puede utilizar la función $T_1$ hipótesis para obtener una contradicción.

Answer 2

[Esta es la tercera versión de esta respuesta. Gracias a Eric Wofsey por las correcciones de las versiones anteriores].

Consideremos las siguientes propiedades en un espacio topológico $X$ :

(i) Todo filtro convergente en $X$ es principal.
(ii) Cada punto de $X$ tiene una vecindad finita.
(iii) Cada punto de $X$ tiene un barrio mínimo.
(iv) Cada filtro de vecindad en $X$ es principal.
(v) Las intersecciones arbitrarias de subconjuntos abiertos son abiertas.

Afirmo que (i) $\iff$ (ii) $\implies$ (iii) $\iff$ (iv) $\iff$ (v). Los espacios que satisfacen las tres últimas propiedades se denominan Espacios Alexandroff . Nunca he cumplido (¡evidentemente!) las condiciones (i) $\iff$ (ii) antes.

Pruebas: (iii) $\iff$ (iv) es inmediato, ya que un filtro es principal si tiene un elemento mínimo. (iii) $\iff$ (v) es sencillo (y estándar). (ii) $\implies$ (iii): si $U$ es una vecindad finita de un punto $x$ que no es mínimo, entonces hay una vecindad $V$ de $x$ que no contenga $U$ y por lo tanto $U \cap V$ es una vecindad finita estrictamente menor. Repitiendo este proceso llegamos a una vecindad mínima.

(i) $\implies$ (ii): Si (i) se cumple, entonces ciertamente (iv) se cumple, por lo tanto también (iii) se cumple. Si para algún punto $x$ el barrio mínimo $U_x$ (es decir, la intersección de todas las vecindades de $x$ ) es infinita, entonces la colección de subconjuntos de $X$ que contienen todos los elementos de $U_x$ es un filtro no principal que converge a $x$ .

(ii) $\implies$ (i): Si $\mathcal{F} \rightarrow x$ entonces $\mathcal{F}$ contiene el filtro de vecindad en $x$ que es el filtro principal asociado a un conjunto finito $U_x$ . Los filtros que contienen el filtro principal asociado a un conjunto finito $U_x$ son los filtros principales asociados a los subconjuntos finitos no vacíos de $U_x$ .

Nota: (iii) no implica (ii): dotar a cualquier conjunto infinito $X$ con la topología indiscreta. Entonces $X$ es la vecindad mínima de todos sus puntos. Además, todo filtro en $X$ converge a cada punto de $X$ por lo que el filtro de Frechet es convergente y no principal.

En particular, como señala Eric, todo espacio finito tiene la propiedad (i), y todo espacio separado ( $T1$ ) que satisface la propiedad (i) es discreto.