Construyendo una matriz entera invertible dada una columna.

Question

Dado un vector $\vec{v}\in\mathbb{Z}^n$ cuyas entradas son relativamente primos, es posible construir una invertible $n\times n$ entero matriz en la cual se ha $\vec{v}$ como una columna?

Para $n=2$ esto es cierto, y parece que debe ser true para $n>2$, pero la prueba se hace mucho más complicado, como la expresión para el factor determinante que resulta más complicado. Estoy más o menos tratando de establecer el determinante igual a $\pm 1$ y, a continuación, determinar si las correspondientes ecuaciones han entero de soluciones. Este es desordenado. Me pregunto si hay una manera mejor para probar esto. La prueba no tiene que ser primaria.

Answer 1

Sí; el Smith Forma Normal algoritmo es un mazo que va a hacer este.

Más generalmente, se puede transformar una columna de $\pmatrix{a_1\\\vdots\\a_n}$ con el entero de las entradas y $\gcd(a_1,\ldots,a_n)=1$ a la unidad de vectores $\pmatrix{1\\0\\\vdots\\0}$ a través de la fila de las operaciones de la forma $R_i\mapsto R_i+mR_j$ ($i\ne j$, $n\in\Bbb Z$), $R_i\leftrightarrow R_j$ y $R_i\mapsto R_j$, cada uno de los cuales corresponde a premultiplying elemental de la matriz con el entero de las entradas y determinante $\pm1$. Por tanto, hay una matriz de $M$ entero entradas y determinante $\pm1$ con $M\pmatrix{a_1\\\vdots\\a_n}=\pmatrix{1\\0\\\vdots\\0}$. A continuación, $M^{-1}$ también ha entero entradas, y determinante $\pm1$ y su primera columna es $\pmatrix{a_1\\\vdots\\a_n}$.

Answer 2

Esto puede hacerse por inducción.

Puedes intentar colocar la última columna de la matriz como \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ 0 \\ \cdots \\ 0 \\ b \end{pmatrix}

Y usa la hipótesis de inducción