Demostrar que $\lim_{n\to\infty}a_n\leq \lim_{n\to\infty}b_n$

Question

Teorema

Sean $\{a_n\}$ y $\{b_n\}$ sucesiones reales convergentes. Supongamos que existe un $N\in\mathbb{N}$ tal que

$a_n\le b_n$ (eq. 1)

para todo $n\ge N$. Entonces

$\lim_{n\to\infty}a_n\le \lim_{n\to\infty}b_n$.

Mi intento de demostrar

Sea $a=\lim_{n\to\infty}a_n$ y $b=\lim_{n\to\infty}b_n$. $a$ y $b$ son números reales porque el límite de una sucesión de números reales es un número real (lo cual es un corolario en mi libro de texto). Para una demostración por contradicción, supongamos

$b

Sea $\epsilon=\frac{a-b}{2}$. Entonces podemos encontrar $N_a,N_b\in\mathbb{N}$ tal que

$|a-a_n|\le\frac{\epsilon}{2}$ cuando $n\ge N_a$, (eq. 2)

$|b-b_n|\le\frac{\epsilon}{2}$ cuando $n\ge N_b$. (eq. 3)

En un libro de texto encontré que debo hacer lo siguiente:

Elegir un $n$ tal que $n\ge\max(N,N_a,N_b)$, entonces las ecuaciones (1-3) se cumplen. Luego

$a-\epsilon\le a_n+\frac{\epsilon}{2}-\epsilon$

¿Cómo obtengo esa última parte? ¿Es necesario hacer una demostración por contradicción o se puede hacer una demostración directa?

Answer 1

¡Ya casi llegas! Solo usaría $\epsilon$ en lugar de $\frac{\epsilon}{2}$ en ec./des. 2 y 3. Con estas demostraciones, es útil imaginar la situación visualmente. Además, creo que en este caso, una demostración directa es más fácil.

Trata de imaginar dos números reales $a$, $b$ con $a < b$ en la recta real. Para cada $\epsilon > 0$ que elijamos, tenemos dos secuencias cuyas colas están contenidas en los intervalos $[a-\epsilon, a+\epsilon], [b-\epsilon, b+\epsilon]$, respectivamente. Por cola, me refiero a la parte de la secuencia con $n \geq N$, para algún número lo suficientemente grande $N$ que depende de $\epsilon$ (se podría argumentar que escribir $N(\epsilon)$ es más claro, pero raramente se escribe de esta manera en la práctica).

Ahora visualiza los intervalos $[a-\epsilon, a+\epsilon], [b-\epsilon, b+\epsilon]$ para $\epsilon$ suficientemente pequeña. Es decir, lo suficientemente pequeña para que los intervalos no se superpongan. Es bastante fácil ver que tomar $\epsilon$ más pequeña que la mitad de la distancia entre a y b es suficiente. Ahora, intuitivamente vemos que todos los $a_n$ son menores o iguales que los $b_n$ para $n \geq N$. Si tomamos $\epsilon = \frac{b - a}{2}$ los intervalos se 'toca' en $\frac{a + b}{2}$ y podemos mostrar que $a_n \leq \frac{a+b}{2} \leq b_n$ para $n \geq N$.

Solo tienes que trabajar esto de forma formal:

Para todo $n \geq N$ tenemos

$a_n - a \leq |a_n - a| \leq \epsilon = \frac{b - a}{2}$ entonces $a_n \leq a + \frac{b - a}{2} = \frac{a + b}{2}$

y

$b - b_n \leq |b_n - b| \leq \epsilon = \frac{b - a}{2}$ entonces $b - \frac{a - b}{2} = \frac{a + b}{2} \leq b_n$

Se sigue que $a_n \leq \frac{a + b}{2} \leq b_n\ \forall n \geq N$.

Answer 2

El límite de una secuencia es independiente de lo que sucede en finitos $n$'s (es decir, para los $n$ hasta $N$), por lo que puedes excluir el conjunto finito $1\le n \le N$ y restringir la atención al comportamiento de las secuencias en el conjunto infinito $Nunos cuantos términos.