Una pregunta sobre las extensiones del grupo

Question

Deje $N=\langle x_1, \ldots, x_m; \mathbf{r}\rangle$ y $H=\langle y_1, \ldots, y_n; \mathbf{s}\rangle$ ($m$ y $n$ puede ser infinito). Entonces, si definimos,

$G=\langle x_1, \ldots, y_1, \ldots; \mathbf{r}, \mathbf{s}, x_i^{y_j}=x_i\phi_j\rangle$

donde $\phi_j\in Aut(N)$ todos los $j=1, \ldots, n$ obtenemos una corta secuencia exacta, $$1\rightarrow \overline{N}\rightarrow G\rightarrow H\rightarrow 1$$ where $\overline{N}=\langle x_1, \ldots, x_m\rangle$.

(Básicamente, pin dos grupos juntos a través de un automorphism de uno de ellos.)

Mis preguntas son estas:

Es verdad que la $\overline{N}\cong N$ ?

-Si $\overline{N}\cong N$, es que el $G=N\rtimes H$ ?

-¿ Los dos anteriores preguntas si estipulamos que el $\phi_j$ surgir en forma natural a partir de un mapa $\langle y_1, \ldots, y_n\rangle\rightarrow Aut(N)?$

Si estos no se sostienen, ¿alguien sabe de una referencia que explora cuando lo hace, o no?

Answer 1

Para convertir el comentario de Arturo en una respuesta a la pregunta, si el % de asignación $y_j \mapsto \phi_j$se extiende a un homomorfismo h $\phi: H \rightarrow {\rm Aut}(N)$ (que es el caso si y sólo si el $\phi_j$ satisfacer a las relaciones de $H$ cuando sustituye $y_j$), entonces la respuesta a ambas preguntas es sí. (Creo que la respuesta a la segunda pregunta es sí siempre).

Answer 2

He aquí un contraejemplo, teniendo en cuenta los requisitos especificados. Tome $N=C_3 = \langle x|x^3\rangle$, el grupo cíclico de orden $3$, y deje $H=C_5 = \langle y|y^5\rangle$, el grupo cíclico de orden $5$. Deje $\phi\in\mathrm{Aut}(H)$ ser el trivial automorphism. Usted entonces tiene $$G = \langle x,y\mid x^3,y^5, x^y=x^2\rangle.$$

Luego tenemos la $x^{y^2} = x$, lo $x^{y^4}=x$, por lo tanto $x = x^1 = x^{y^5} = (x^{y^4})^y = x^y = x^2$. Por lo tanto, $x=1$$G$, Lo $\overline{N}$ es trivial.

El problema es que la asignación de $\{y_1,\ldots,y_m\}\to \mathrm{Aut}(N)$ no se le pide que se "reflejan" en las relaciones $\mathbf{s}$, por lo que las fuerzas de la nueva relación en la $x_i$. Con el fin de obtener la isomorphisms, usted necesita la asignación de $y_i\mapsto \phi_i$ (lo que induce a un grupo de homomorphism de la libre grupo en el $y_i$ a $\mathrm{Aut}(N)$) para el factor a través de $H$; es decir, usted realmente necesita un grupo de homomorphism $H\to \mathrm{Aut}(N)$, no sólo una tarea de los generadores a homomorphisms.

Si usted tiene un homomorphism $H\to\mathrm{Aut}(N)$, entonces la respuesta a ambas preguntas es "sí". Un "externo semidirect producto de $N$ $H$" es equivalente a un homomorphism $H\to\mathrm{Aut}(N)$ (ver, por ejemplo, el Ejercicio I. 12.12 en Lang, Álgebra, o la sección en semidirect productos (páginas 167-171, especialmente los Lemas 7.20 y 7.21, y los Teoremas 7.22 y 7.23 en Rotman de la Introducción a la Teoría de Grupos, 4ª Edición), y la presentación de la semidirect producto es el que dar.

Si, como sucede, usted tiene que $\overline{N}\cong N$, entonces la respuesta a la segunda pregunta es "sí". Tenga en cuenta que ciertamente tenemos $\overline{N}\triangleleft G$, hay un set de generación de energía $S$ tal que $x^{-1}Nx = N$ todos los $x\in S$, es decir,$S=\{x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots y_m\}$. También, $G/\overline{N} \cong \langle y_1,\ldots,y_m,\mathbf{s}\rangle\cong H$, ya que es la presentación que obtenemos si sumamos las condiciones $x_i=1$, $i=1,\ldots,n$. Por lo $\overline{N}\triangleleft G$, e $G/\overline{N}\cong H$$\langle y_1,\ldots,y_m\rangle\cong H$$G$, lo $G\cong \overline{N}\rtimes H$. Ya que estamos suponiendo que el $\overline{N}\cong N$, que sin duda obtener una semidirect producto $G\cong N\rtimes H$. Sin embargo, no tiene que ser dado por la acción de la $H$ $N$ dado por la $\phi_i$: necesitas conjugado que la acción con el isomorfismo $\psi\colon\overline{N}\to N$.