Gire un poder de $2$ en un múltiplo de $7$ , tal vez añadiendo un $2$ pero no un $7$

Question

El día de San Patricio, el duende Lucky Charms me apostó una botella de Glenfiddich a que no podía resolver este problema matemático antes de medianoche:

Hay un poder de $2$ que puede convertirse en un múltiplo de $7$ con una simple rotación de una representación. Además, ese mismo poder de $2$ puede convertirse en ese mismo múltiplo de $7$ añadiendo un $+2$ a otra representación. Y si realmente quieres usar un $7$ para llegar allí, eso también se puede hacer, pero se necesitan un par de cosas más además del $+2$ para llevar a cabo la transformación.

Inmediatamente dije $1024$ ya que $2401 = 7^4$ pero dijo que eso es incorrecto, porque eso requiere una rotación y un intercambio. "Piénsalo mejor, muchacho", dijo.

La medianoche llegó y pasó y no me di cuenta. Pero todavía quiero saber la respuesta. Sé que es algo tan fácil que me sentiré estúpido una vez que se me revele la respuesta. La respuesta no requiere un trabajo pesado de cálculo de números. He estado mirando los poderes de $2$ hasta $2^{64}$ pero no puedo entenderlo. Este acertijo me tiene perplejo.

Answer 1

Una posible respuesta: $2^0$

Rotación: $2^0=1$ pero $0^2 = 0$ . $0$ es un múltiplo de $7$ .

+2: $2^0$ puede ser representado por $\frac {-2}{-2}$ . Añade 2: $\frac {-2+2}{-2} = 0$

7: Este no lo tengo muy claro. Podrías hacer lo mismo que arriba y representar $2^0$ por $\frac {-7}{-7}$ y todo lo que necesitas es un $+7$ encima, pero el acertijo dice que necesitas otras cosas además del 7 para hacer la transformación.

Answer 2

$2^8=128$ y $812=7\cdot 116$ pero eso no satisface la segunda condición por lo que veo.

Answer 3

Hmm, esos duendes son difíciles...

Tal vez tengamos que rotar $16$ para obtener ese múltiplo de 7, $91$ . Sin embargo, no consigo que el resto tenga sentido - he intentado trabajar a través de otras bases, sin alegría todavía - habría esperado que aludiera a pasar de $31_5$ a $331_5$ porque les gusta mucho el dublin'.

Answer 4

Lo primero que me vino a la mente fue la rotación a nivel de bits, como ROR , ROL , RCR etc. Pero, obviamente, una potencia de 2 en un tipo de dato entero girado en cualquier dirección, cualquier número de bits, simplemente da otra potencia de 2.

Tu respuesta fallida de 1024 y 2401 me sugirió que la respuesta implica una rotación de dígitos decimales, lo que después de rascarme la cabeza me llevó a esto: $$2^{14} = 16384$$ y $$14^4 = 38416.$$

Si tomamos $2^{14}$ y lo "volteamos" obtenemos $14^2 = 196$ que no llega a 38416. Tal vez aquí es donde el " $+2$ " entra: $14^{2 + 2} = 38416$ . Una forma de utilizar el dígito 7 en la representación de $2^{14}$ es $(2^7)^2$ . Se necesitan más cambios para convertirlo en $14^2$ , a saber $(2 \times 7)^{2 + 2}$ .

No leo chino, pero esta página web me ayudó a entender las cosas http://wenwen.sogou.com/z/q469682270.htm

Answer 5

Todavía es posible hacer $1024$ trabajo. Haga $4102 = 7 \times 586$ . Ahora, $1024 = 4^{9 - (3 + 1)}$ y $4102 = 14 \times 293$ . Lo que hice allí fue reordenar los dígitos y mover un $2$ y sustituir los distintos operadores por un único $\times$ signo. Sin embargo, dudo que esto le haya hecho ganar el Glenfiddich.