Demostrar que $w=\frac{\sqrt{z^2+z+1}}{z^2-3z+2}$ analítica sobre $|z|<1$

Question

He hecho el autoaprendizaje de un curso de análisis complejo. Mis primeras dificultades están en las funciones analíticas. En ese libro, del que estoy aprendiendo, no hay ni siquiera un ejemplo de cómo demostrar tal problema, como en el título:

Demostrar que $w=\frac{\sqrt{z^2+z+1}}{z^2-3z+2}$ analítica sobre $|z|<1$

¿Podría orientarme proporcionando una solución completa de lo anterior?

Gracias.

Answer 1

Se pueden utilizar algunos datos generales sobre cómo se pueden componer las funciones analíticas:

• La suma y el producto de dos funciones analíticas $f,g$ es analítica. Esto se desprende de $(f+g)'=f'+g'$ y $(fg)'=fg'+f'g$ .
• Si $f(z)$ es analítico en $\Omega$ y no tiene ningún cero allí, entonces $\frac1{f(z)}$ también es analítica. Esto se desprende de $\frac d{dz}\frac1{f(z)}=\frac{f'(z)}{f^2(z)}$ .
• Si $f(z)$ es analítico en $\Omega$ y $\Omega$ está simplemente conectado y $f(z)$ no tiene cero allí, entonces $\sqrt{f(z)}$ es analítico en $\Omega$ también. Esto se deduce por monodromía.
• El disco unitario abierto dado por $|z|<1$ está simplemente conectado: El disco y su complemento están claramente conectados, incluso no es difícil dar caminos explícitos entre los puntos.

Si conoces estos cuatro hechos, puedes combinarlos para concluir que $f(z)=\frac{\sqrt{z^2+z+1}}{(z-2)(z-1)}$ es analítico en $|z|<1$ : El denominador es cero sólo en $z=1$ y $z=2$ por lo que no está en el disco abierto; el radicando en el numerador tiene dos raíces complejas de valor absoluto $1$ Por lo tanto, no hay ninguno dentro del disco.