Esta pregunta viene de problema #3 de la Primavera de 2013 Análisis de la Qual Examen aquí http://www.math.ucla.edu/grad/handbook/hbquals.shtml
Definir para $f\in C(\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R})$ $$(A_{r}f)(x,y):=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x+r\cos\theta,y+r\sin\theta)\;d\theta$$ y $$(Mf)(x,y)=\sup_{0<r<1}(A_{r}f)(x,y).$$ Suponiendo un teorema de Bourgain que existe una absoluta constante $C$ tal que $Mf$ está delimitada en $C_{c}(\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R})$, es decir, $$||Mf||_{L^{3}(\mathbb{R}^{2})}\leq C||f||_{L^{3}(\mathbb{R}^{2})},$$ probar que si $K\subset\mathbb{R}^{2}$ es compacto, entonces uno tiene $$\lim_{r\to0}\;(A_{r}\chi_{K})(x,y)=1\;\text{a.e.}\;x.$$ $\chi_{K}$ es la función característica de a $K$.
(Propuesta) De La Prueba. Si $f$ es continua en a $\mathbb{R}^{2}$ lo es cada una de las $g_{r}(\theta):=f(x+r\cos\theta,y+r\sin\theta)$ para cada uno de ellos fijo $(x,y)$. Con $(x,y)$ fijo y $r<1$ (por ejemplo), $$\sup_{0<r<1}||g_{r}||_{L^{\infty}}\leq\sup_{0<r<1}\sup_{\partial B(r;(x,y))}|f(s,t)|=\sup_{B(1;(x,y))}|f(s,t)|=M(x,y)<\infty.$$ Y por lo $\{g_{r}(\theta)\}_{0<r<1}$ está dominado por $M(x,y)$, que es integrable en a $[-\pi,\pi]$. Por lo tanto, por la continuidad de la integrands y la dominted teorema de convergencia, \begin{align*} \lim_{r\to0}\;(A_{r}f)(x,y) &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\lim_{r\to0}g_{r}(\theta)\;d\theta \\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(\lim_{r\to0}(x+r\cos\theta),\lim_{r\to0}(y+r\sin\theta))\;d\theta\\ &=f(x,y)\;\text{a.e.}\;x.\end{align*}
En el caso particular de la $f=\chi_{K}$, podemos ver que $f(x,y)=1$$(x,y)\in K$$f(x,y)=0$$(x,y)\in K^{c}$. También, la monotonía teorema de convergencia puede ser utilizado en lugar de en este caso, dado que con $\chi_{K}$ como nuestra definición de la $g_{r}$$r\to0$, $g_{r}$ forma de un aumento de la secuencia de truncamientos de $\chi_{K}$ (como una función de la $\theta$).
Obviamente, si alguien podría señalar el error en mi razonamiento, me gustaría mucho aprecio. En particular, ¿por qué necesito para utilizar el máximo de la función, y, en particular, el acotamiento de la misma en $L^{3}\cap C_{c}\mapsto L^{3}$. También, ¿por qué hay un interés especial en $\chi_{K}$ $K$ ser compacto? Estos supuestos me llevan a creer que la prueba es mucho más complicado para general continua $f$ de lo que he indicado en mi intento de prueba.
Edición 1. Al pasar el límite de $\lim_{r\to0}$ bajo el argumento de que el integrando, he asumido la continuidad de $f$. Pero $\chi_{K}$ no es necesariamente continua en $B(1,(x,y))$, por lo tanto $g_{r}(\theta)$ neednot ser continua en $[-\pi,\pi]$ cualquier $0<r<1$ por lo que pasa el límite en el argumento no puede ser (de inmediato) justificado. Si $K$ contiene una bola de unos a$(x,y)$, $r$ suficientemente pequeña estamos bien, pero $K$ puede ser lo suficientemente "malo" para el punto donde no hay justificación inmediata (en realidad, es esto posible para compact? Necesitábamos sólo demostrar la afirmación de una.e. $x$ así que, en principio, podría ignorar los puntos en el límite de $K$ o puntos aislados). Este debe ser donde más sofisticados argumentos empleando el máximo de la función son necesarias? Tengo la sospecha de algún tipo de aproximación argumento con funciones continuas con soporte compacto denso en $L^{3}$, pero no estoy seguro de cómo $L^{3}$ entra en el problema...
