¿Por qué hay que invertir el signo en esta desigualdad?

Question

Estamos aprendiendo sobre las desigualdades. Al principio supuse que sería lo mismo que las ecuaciones, pero con un signo diferente. Y hasta ahora, lo ha sido - excepto por esto.

Tomemos la simple desigualdad: $-5m>25$ Para resolverlo, dividimos por $-5$ en ambos lados, como se esperaba. $m>-5$ .

Pero, me han dicho que ahora hay que voltear el signo de desigualdad porque dividimos por un negativo (y esto también se aplica a la multiplicación de negativos).

$m<-5$

Y esto sí funciona. Introduce cualquier valor menor que $-5$ y resulta ser más de 25, pero ¿por qué?

Matemáticamente, ¿por qué invertimos el signo aquí?

Answer 1

Seguramente crees que podemos sumar/restar de las desigualdades sin problema. Te muestro por qué usando esto.

Si tienes eso $x>y$ y luego restar $y$ para conseguir $x-y>0$ y restar $x$ para conseguir $-y>-x$ . Es decir, multiplicando por $-1$ invierte la desigualdad.

Answer 2

El acto de multiplicar por un escalar positivo es estirar la recta numérica hacia fuera del origen (o encogerla hacia dentro si el factor de escala es menor que uno). Si un punto de la recta numérica está a la izquierda de otro, ese hecho sigue siendo cierto después del estiramiento. Multiplicar por un negativo no sólo lo estira/encoge sino que también voltea a través del origen - piense en ello como un $180^\circ$ rotación. Si haces eso a dos puntos, entonces eso invertirá el orden en el que estaban. Si el punto A estaba a la izquierda del punto B para empezar, entonces después de voltear, el punto B estará a la izquierda de A después.

En símbolos, $a<b\implies ra<rb$ si $r>0$ y $a<b\implies rb<ra$ si $r<0$ .

Se puede probar lo anterior de forma axiomática, no utilizando más que sumas y restas como dice avid19.

Answer 3

Para aquellos que se benefician de las imágenes, considere esta línea numérica:

$<----- (-5) ---- 0 ------ (7) --->$

Puedes ver $7$ está más a la derecha que $-5$ Así que $7 > -5$ .

Multiplique ambos valores por $-1$ y le das la vuelta a la recta numérica:

$<--- (-7) ------ 0 ---- (5) ----->$

Ahora puedes ver $5$ está más a la derecha que $-7$ Así que $5 > -7$ o $-7 < 5$ .

Puedes extender esa lógica a una ecuación con variables, como el ejemplo de la pregunta:

$-5m>25$

se representa en la recta numérica de la siguiente manera:

$<------------- 0 ----- (25) ----- (-5m) --->$

Dividir ambos lados por $-5$ para conseguir $m$ por sí mismo. Como antes, esto invierte la línea numérica. También reduce la escala del conjunto por un factor de 5. El resultado:

$<------- (m) - (-5) - 0 ------------------>$

Esa recta numérica puede representarse como $-5>m$ o, como señala la pregunta:

$m < -5$

Answer 4

Imagina dos puntos en un eje numérico, digamos $1$ y $3$ . Ciertamente $1$ está a la izquierda de $3$ que escribimos $$1<3$$ Ahora, multipliquemos ambos lados por $2$ . Eso significa que escala la situación a un nivel dos veces mayor: $1$ se convierte en $2$ y $3$ aterriza en $6$ . Por supuesto, lo que estaba a la izquierda en el par, sigue estando a la izquierda: $$2<6$$

Sin embargo, multiplicar por un valor negativo no es sólo escalar, también es voltear toda la imagen con respecto a $0$ (cero). Es como si hubieras girado la línea $180^\circ$ alrededor de un pivote en el origen. Así, lo que antes estaba en el lado izquierdo ahora aparece en el lado derecho: $$(-6)<(-2)$$

En realidad, los valores se intercambian, pero podemos mantenerlos de forma equivalente en sus lados anteriores e invertir el sentido de la desigualdad: $$(-2)>(-6)$$

Answer 5

Sólo es cuestión de reformar la ecuación.

Si tiene $x < y$ esto equivale a $f(x) < f(y)$ si y sólo si $f$ es una función estrictamente creciente. Si $f$ es una función estrictamente decreciente (como lo es la multiplicación por un número negativo), invierte la desigualdad. Si la función sólo es no decreciente, se obtiene $f(x) \le f(y)$ y ya no puede volver a la ecuación original. Si $f$ tiene partes crecientes y decrecientes (como $f(x)=x^2$ ), hay que dividir la (in)igualdad en partes monótonamente crecientes y decrecientes y combinar los resultados.