Producto tensorial en el álgebra multilineal

Question

En el libro de Halmos ( $FDVS$ ) el producto tensorial de dos espacios vectoriales U y V se define como el dual del espacio vectorial de todas las formas bilineales sobre la suma directa de U y V. ¿Existe una forma generalizada de esto para las sumas directas de más de dos espacios vectoriales? ¿Existe una relación entre el espacio de todas las formas multilineales sobre la suma directa de $V_1$ , $V_2$ , $V_3$ ,..., $V_k$ con su producto tensorial.

Por favor, explíquelo sin invocar otros objetos algebraicos como módulos, anillos, etc., y utilizando únicamente los conceptos relativos a los espacios vectoriales (como el libro tampoco asume tales antecedentes, es poco probable que cualquier lector de ese libro se beneficie de tal exposición). En todos los sitios que he buscado, he encontrado la explicación en términos de esos conceptos solamente y al no estar familiarizado con ellos no he podido entenderlos en absoluto. Gracias de antemano.

Answer 1

¿Qué es una forma bilineal? Ingenuamente, es un cierto tipo de función de conjunto $\phi\colon V\times W\to \Bbbk$ (donde $\Bbbk$ es el campo base sobre el que se definen nuestros espacios vectoriales). Sin embargo, de forma más limpia, deberíamos pensar en una forma bilineal como un elemento del espacio vectorial $\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}\Hom_\Bbbk(V,\Hom_\Bbbk (W,\Bbbk))$ donde $\Hom_\Bbbk$ es el espacio de $\Bbbk$ -lineal (es decir, lineal con respecto a los escalares del campo $\Bbbk$ ) entre espacios vectoriales.

Esto expresa el hecho de que la evaluación de un bilineal de $\phi(v,w)$ en la primera variable (introduciendo algo para $v$ ) debería dar una función $\phi(v,-)\colon W\to\Bbbk$ que es lineal. De manera más concisa, podemos decir que una forma bilineal es un mapa lineal en $\Hom_\Bbbk(V,\Hom_\Bbbk(W,\Bbbk))=\Hom_\Bbbk(V,W^*)$ es decir, un mapa lineal desde $V$ al dual de $W$ .

¿Qué es el producto tensorial? El producto tensorial $V\otimes W$ es un gadget que pretende representar los mapas bilineales como mapas lineales en un dominio que depende naturalmente de $V$ y $W$ . En otras palabras, el producto tensorial $V\otimes W$ debe satisfacer la propiedad de que $\Hom_\Bbbk(V\otimes W,\Bbbk)\cong\Hom_\Bbbk(V,\Hom(W,\Bbbk))$ es decir, que $(V\otimes W)^*\cong\Hom_\Bbbk(V,W^*)$ .

Ahora, recordando que un espacio vectorial $Z$ se incrusta en su doble dualidad $Z^{**}$ obtenemos $V\otimes W\hookrightarrow (V\otimes W)^{**}\cong\Hom_k(V,W^*)^*$ . De ello se deduce que el producto tensorial está siempre contenido en el dual de las formas bilineales. Cuando $V$ y $W$ son de dimensión finita, entonces $W^*$ es de dimensión finita, por lo que $\Hom_\Bbbk(V,W^*)\cong (V\otimes W)^*$ es de dimensión finita, por lo que $\Hom_\Bbbk(V,W^*)^*\cong (V\otimes W)^{**}$ es y por lo tanto es isomorfo a $V\otimes W$ .

Para generalizar esto a las formas multilineales, observe que una forma multilineal $\phi\colon V_1\times V_2\times\dots\times V_n\to\Bbbk$ debe considerarse como un elemento del espacio vectorial $\Hom_\Bbbk(V_1,\Hom_\Bbbk(V_2,\dots,\Hom_\Bbbk(V_n,\Bbbk))\dots)=\Hom_\Bbbk(V_1,\Hom_\Bbbk(V_2,\dots,\Hom_\Bbbk(V_{n-1},V_n^*))\dots)$ . Esto debería ser naturalmente isomorfo a $\Hom_\Bbbk(V_1\otimes V_2\otimes\dots\otimes V_n,\Bbbk)=(V_1\otimes\dots\otimes V_n)^*$ Así que de nuevo $(V_1\otimes\dots\otimes V_n)^{**}\cong\Hom_\Bbbk(V_1,\Hom_\Bbbk(V_2,\dots,\Hom_\Bbbk(V_{n-1},V_n^*)\dots)^*$ es decir, de nuevo el doble dualr del producto tensorial multivariado debería ser naturalmente isomorfo al dual del espacio de las formas multilineales. Cuando este último es de dimensión finita (si todos los $V_i$ son de dimensión finita), entonces también lo es su dual, por tanto también lo es el doble dual del producto tensorial.

(No hay nada raro en el hecho de que el producto tensorial se integre en el dual de las formas multilineales. Tomando un vector base $v_1\otimes v_2\dots\otimes v_n$ por definición se puede evaluar una función multilineal $\phi\colon V_1\times\dots\times V_n\to\Bbbk$ en él haciendo $\phi(v_1,v_2,\dots,v_n)$ ).

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Para responder a las demás preguntas de los comentarios:

1. El producto tensorial $V\otimes W$ de $n$ -dimensional $V$ con $m$ -dimensional $W$ es (según lo anterior) un $n\cdot m$ -espacio vectorial de dimensiones. Sin embargo, más precisamente, el producto tensorial $V\otimes W$ es un $n\cdot m$ -espacio vectorial de dimensiones equipadas con estructura adicional . Esta estructura adicional consiste en un único dato: un isomorfismo designado del dual del producto tensorial $(V\otimes W)^*$ con $\Hom_\Bbbk(V,W^*)$ . Esto significa que en realidad no importa qué $n\cdot m$ -espacio vectorial dimensional que consideres el producto tensorial, lo que importa es la estructura adicional que pongas en él (o más bien en su dual). Así que, de hecho, cada $n\cdot m$ -El espacio de dimensiones puede tener la estructura de ser el producto tensorial $V\otimes W$ y luego hay isomorfismos que preservan esta estructura, por lo que hasta el isomorfismo hay un producto tensorial único.

2. Compárese con que un espacio de producto interno es un espacio vectorial $V$ con una forma bilineal simétrica positiva-definida $\phi(-,-)\colon V\times V\to\Bbbk$ . El hecho de ser una forma bilineal significa que se trata realmente de un mapa en $\Hom_\Bbbk(V,V^*)$ y las demás propiedades (definición positiva, simetría) son propiedades de ese mapa. La elección de diferentes productos internos da lugar a diferentes estructuras de productos internos (por ejemplo, un producto punto ponderado positivo frente al producto punto habitual en $\mathbb R^n$ ). Sin embargo, todos los espacios de producto interno de la misma dimensión no sólo son isomorfos como espacios vectoriales, sino que los isomorfismos pueden ser elegidos para preservar la estructura extra del producto interno, es decir, son isométricos. Así que, de nuevo, hasta el isomorfismo, sólo hay un espacio de producto interior de cualquier dimensión particular.

Answer 2

Si es productos tensoriales de más de dos espacios vectoriales, y no sumas directas Sí, es exactamente la misma caracterización. (Normalmente una forma bilineal se define como un mapa $U \times V \to F$ , donde $F$ es el campo subyacente, que es lineal en ambos argumentos. Pero $U \times V$ se toma como un conjunto, sin la estructura de una suma directa).

Es decir, se puede definir el producto tensorial $V_{1} \otimes V_{2} \otimes \dots \otimes V_{k}$ como el dual del espacio de todas las formas multilineales en $V_{1}, V_{2}, \dots , V_{k}$ . La razón es que usted quiere un propiedad universal para que exista un isomorfismo de espacios vectoriales entre

• el espacio de las formas multilineales, y
• el espacio $T^{\star}$ de formas lineales sobre el producto tensorial $T$ .

Así que toma el dual, y observa que en el caso de dimensión finita $T^{\star \star} \cong T$ .

Answer 3

En primer lugar: sí: basta con sustituir "bilineal" por "multilineal" y se obtiene una definición que funciona para espacios vectoriales de dimensión finita.

Segundo: como también dice Halmos ahí mismo, esta no es la definición correcta para los espacios vectoriales en general. La razón es que la definición correcta es en realidad indirecta: dice que el dual del producto tensorial es isomorfo al espacio de formas multilineales sobre la suma directa. Para los FDVS, esto es equivalente a lo que escribió, porque el doble dual de un FDVS es él mismo, pero para los espacios de dimensión infinita, esto no es así.

Por supuesto, para los FDVS se tiene la insatisfactoria definición de que "el producto tensorial de un $m$ -y una $n$ -es un espacio de dimensiones $mn$ -espacio dimensional", ya que todos ellos están completamente determinados por sus dimensiones. Pero eso no es lo importante en los productos tensoriales: lo que importa son las relaciones que existen entre los espacios vectoriales. Y la relación relevante para los productos tensoriales es:

Para cualquier espacio vectorial $V, W$ y $U$ hay una correspondencia natural (en un sentido que se puede precisar usando ideas que usted pidió no usar) entre los mapas lineales $V \otimes W \to U$ y mapas bilineales en $V \times W$ valorado en $U$ .

Si utilizamos el espacio unidimensional para $U$ recuperaríamos la definición de $V \otimes W$ como el dual del espacio de las formas bilineales, pero el texto anterior es la verdadera definición.

Answer 4

(Como en mi comentario de arriba...) Sinceramente y en serio, aparte de las adaptaciones a corto plazo que sean necesarias o deseables... Como sugieren la respuesta y los comentarios de @RyanReich, una "definición" "elemental" de producto tensorial dejará a una persona desconcertada, por un lado. Por otro, no está nada claro por qué necesitamos algo así. (Da gracias a que no estás estudiando la versión de finales del siglo XIX del álgebra lineal y multilineal, con "multiíndices superiores e inferiores", dando lugar a los "covectores" $v^i$ que de alguna manera eran diferentes de los "vectores" $v_i$ . "¿Diferente? ¿En qué sentido? Bueno, supuestamente, en las "reglas"... No importa.)

El punto de vista ventajoso a largo plazo, que es mucho mejor por muchas más razones que la simple comprensión de los productos tensoriales per se, tiene dos partes. La primera se refiere a la transición de la "definición" en el sentido de "construcción" (normalmente en términos de teoría de conjuntos), a la "caracterización" en el sentido de cómo se pretende/requiere que la cosa interactúe con otras cosas. Sí, esto invierte el enfoque de los libros de texto de bajo nivel de las últimas décadas, en los que (de forma poco sincera) damos una "definición" al principio... sin admitir que la gente pasó por multitud de ejemplos y muchas definiciones de prueba antes de dar con la mejor abstracción... y luego "demostrar" las propiedades (deseadas/requeridas) en un estilo exageradamente formal (pero elegante). En particular, en el caso de los productos tensoriales, si bien uno ha sido condicionado a esperar "una construcción", en realidad no es eso lo que queremos: queremos saber cuál es la punto es, lo que va a ser realizado . Pero cierta versión demasiado formal de las matemáticas en los libros de texto apenas tiene forma de decir esto, excepto por... (redoble de tambores)...

"Teoría de las categorías". La teoría de categorías informal/ingenua es una cosa maravillosa, del mismo modo que lo es la teoría de conjuntos informal/ingenua, ya que proporciona un lenguaje y una familia de conceptos que nos enriquecen, que amplían las posibilidades, muestran puntos comunes, etc. Hay que tener cuidado con las versiones más "formales/axiomáticas", sin embargo, al menos que tiendan a ser "X porque sí" o "axiomatizaciones de cosas tangibles..." Por ejemplo, hace 100 años era realmente interesante escuchar de Kuratowski, Wiener y otros, que "un par ordenado" $(a,b)$ podría modelarse "en teoría de conjuntos" (en la que "todo es un conjunto") como $\{\{a\}, \{a,b\}\}$ . Pero, srsly, amigos, es el caracterización de "pares ordenados", es decir, que $(a,b)=(a',b')$ si y sólo si $a=a'$ y $b=b'$ que nos importa. Es decir, nos importa la interacción de "un par ordenado" con los individuos "en" él, y con otros pares ordenados, no la construcción... aunque es bonito para saber que la gente inteligente puede modelar pares ordenados como conjuntos.

En segundo lugar, ... y aquí hay un punto no tan elemental... una buena caracterización "externa" de una cosa a menudo la caracteriza tan completamente que, por la propia caracterización (si se hace bien), dos cosas cualesquiera $X,Y$ que hacen el trabajo tienen un isomorfismo (único) entre ellos (que también se ajusta perfectamente a cualquier trabajo que se requiera). En un punto en el que se distingue "igualdad" de "isomorfismo" (que a veces es acertado, a veces no), cabe destacar que esto sí no diga $X=Y$ sino sólo que son (únicamente) isomorfas. En realidad, la mayoría de las veces esto es lo máximo que se puede exigir razonablemente. A menudo, esta parte es anterior a cualquier construcción. ¡Por la caracterización! Para repetir: aunque esto es algo ajeno a la matemática elemental (¿típico de la licenciatura?), la construcción no es de interés, el interacción (como caracterización externa) es el punto.

Por ejemplo, con objetos más conocidos: un grupo cociente $Q=G/N$ es un grupo $Q$ y el homomorfismo (cociente) $q:G\to Q$ tal que cualquier grupo hom $F:G\to H$ con $N$ dentro de su núcleo "factores a través de $Q$ en el sentido de que hay $f:Q\to H$ tal que $F=f\circ q$ . Hacer un dibujo también está bien aquí.

¿Qué es un "indeterminado"? $x$ como en el caso de un anillo de polinomios $k[x]$ sobre un campo $k$ ? Pensamos en cosas "variables", bastante razonables, pero, en serio, ¿qué puede significar esto? Significa que, por ejemplo, dado un anillo conmutativo $R$ con $k$ en su interior, y dado $a\in R$ hay un único (" $k$ -álgebra") homomorfismo $k[x]\to R$ enviando $x$ a $a$ .

Para los productos tensoriales: un producto tensorial $V\otimes W$ de dos $k$ -es un espacio de vectores $k$ -vectorial y bilineal $b:V\times W\to V\otimes W$ tal que, para cada bilineal $\beta:V\times W\to X$ para $k$ -espacio vectorial $X$ hay un único $k$ -mapa lineal $B:V\otimes W\to X$ a través de la cual $\beta$ factores, por $\beta=B\circ b$ . A partir de este caracterización (no la construcción) se pueden probar todas las cosas relevantes. ¿Existe tal cosa? Bueno, sí, y hay varias construcciones (no tan útiles, en realidad).

Parte de la cuestión es que a menudo se nos da "la definición" de los productos tensoriales sin ningún argumento persuasivo para preocuparse por esas cosas... y, además, el hecho de que sean cosas algo más sofisticadas lo hace doblemente confuso.

Así que, esa fue la versión de cinco minutos de algo. :)