Entiendo la fórmula, pero ¿qué significa que una transformación de Fourier se convierta del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia? ¿Y cómo lo hace? Incluso, en el campo del procesamiento de imágenes, ¿por qué dicen que se convierte del dominio espacial al dominio de la frecuencia?
La transformada de Fourier descompone una señal en los pesos de las funciones base ortonormales: senos y cosenos de diferentes frecuencias. Una analogía sería descomponer un vector en el plano x-y en sus componentes x e y, que son los pesos aplicados a los vectores unitarios a lo largo del eje x y del eje y (los vectores de base ortonormal del plano x-y). Las funciones sinusoidales pueden ser funciones del espacio y del tiempo. Para el procesamiento de imágenes se sigue descomponiendo la señal en términos de senos y cosenos, las frecuencias sólo corresponden al cambio en el espacio frente al cambio en el tiempo.
Muy bien. ¿Pero cómo lo hace? ¿Por qué, por ejemplo, no se transforma la señal en el dominio de la amplitud o en el de la fase en lugar de en el de la frecuencia?
En cuanto al cómo: la integral de un producto de dos cosenos o dos senos de distinta frecuencia o de un producto de seno y coseno va a 0 (son ortogonales en ese sentido). Cuando las frecuencias coinciden, se obtiene una respuesta no nula para la integral. Es esta propiedad la que arranca la amplitud con signo de ese componente en esa frecuencia. Así que la integral te da la amplitud con signo para los componentes del seno y del coseno en todas las frecuencias. A partir de esto, tratando las amplitudes con signo en cualquier frecuencia como un número complejo (la amplitud del seno es imaginaria) puedes obtener la fase y la magnitud.
En cuanto al porqué del dominio de la frecuencia: las funciones sinusoidales son ortogonales en frecuencia (y en fase de 90 grados: seno vs coseno). No son estrictamente ortogonales en amplitud o en fase en general. La ortogonalidad de seno vs coseno se refleja en las partes imaginaria y real de la transformación.
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