¿Es completa la métrica inducida por la convergencia en probabilidad (métrica de Ky Fan)?

Question

Mi pregunta es la siguiente:

Dejemos que $X_1,X_2,\cdots$ sean variables aleatorias independientes y $S_n=\sum\limits_{k=0}^n X_k$ . Supongamos que $\sum\limits_{k=n}^m X_k$ converge en probabilidad a $0$ cuando $n,m$ ir a $\infty$ . Hace $S_n$ convergen también en probabilidad a un determinado límite?

Se sabe que la convergencia en probabilidad define una topología en el espacio de variables aleatorias sobre un espacio de probabilidad fijo. Esta topología es metrizable por la métrica de Ky Fan, que se caracteriza por:

$d(X,Y)=\inf\{\epsilon>0: P(|X-Y|>\epsilon)\le\epsilon\}$ , o $d(X,Y)=E[\min(|X-Y|,1)]$ .

Si la métrica Ky Fan está completa, entonces $S_n$ convergería a un límite. Entonces, ¿está completa la métrica de Ky Fan?

Answer 1

Tenemos que utilizar los siguientes datos:

• Si $\{X_n\}$ es Cauchy en medida, podemos extraer una subsecuencia $\{Y_k=X_{n_k}\}$ tal que $P(|Y_{k+1}-Y_k|>2^{-k})\leq 2^{—k}$ .
• Por el lema de Borel-Cantelli (clásico, no para variables aleatorias independientes), tenemos que la serie $\sum_k (Y_{k+1}-Y_k)$ es convergente en casi todas partes. Por lo tanto, la secuencia $\{X_k\}$ es convergente en casi todas partes, a $Y$ .
• Ahora puedes usar la métrica para mostrar que toda la secuencia $\{X_n\}$ converge a $Y$ .

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Tenga en cuenta que la independencia de $X_n$ no se utilizó.