Es el Lagrangiano de la densidad en la teoría de campo real?

Question

Como la Lagrangiana de la mecánica clásica corresponde a la energía, debe ser real. Pero es que el caso en la teoría cuántica de campos? Quiero decir, todavía debe corresponder a algún tipo de energía, pero ¿qué pasa con todos los "$i$"s de aquí y de allá, como en el Lagrangiano de Dirac $i\bar{\psi}\gamma^\mu\partial_\mu \psi$ y la densidad de corriente $J_\mu = ie[\dots]$ (ver Griffiths, por ejemplo)?

Otra pregunta es, ¿cómo puede ser hermitian $\mathcal{L} = \mathcal{L}^\dagger$, cuando tenemos esos "$i$"s? No puedo conseguir un signo menos si me complejos conjugados, el término de interacción y el campo de Dirac plazo? Estoy realmente confundido y espero que alguien pueda ayudar

Answer 1

En la teoría cuántica de campos, la densidad Lagrangiana es un operador, no un número. Por tanto, no tiene sentido decir que tiene que ser real; "real" es un término que se aplica a los números, no los operadores.

Lo que no tiene que ser cierto es que el $\mathcal{L}$ tiene la expectativa real de los valores en todos los estados físicos, y que a su vez significa que ha de ser hermitian (lo que los matemáticos llaman auto-adjunto). Pero hermiticity no es sólo una cuestión de ser real. Usted puede tener otros no hermitian factores además de la $i$. En particular, la derivada $\partial_\mu$ en el Lagrangiano de Dirac es antihermitian, por lo que la combinación $i\partial_\mu$ como un todo es hermitian.