¿Cómo puedo evaluar el límite de $\large\lim_{x\to \infty }\frac{\ln(x)^{\ln(x)^{\ln(x)}}}{x^x}$?

Question

$$\large\lim_{x\to \infty }\frac{\ln(x)^{\ln(x)^{\ln(x)}}}{x^x}$$

Como $x$ enfoques infinito, tanto en funciones de enfoque infinito. Por lo tanto, debo utilizar el hospital de la regla, haga? Pero parece complicar la respuesta.

Answer 1

Tomar la $\ln$ de la parte inferior. Llegamos $x\ln x$. Hacerlo de nuevo. Llegamos $\ln x+\ln\ln x$.

Tomar la $\ln$ de la parte superior. Llegamos $(\ln x)^{\ln x}\ln\ln x$. Hacerlo de nuevo. Llegamos $\ln x\ln\ln x+\ln\ln\ln x$.

La relación de la $\ln\ln$s'es $$\frac{\ln x\ln\ln x+\ln\ln\ln x}{\ln x+\ln\ln x}.\tag{1}$$ Esta $\to\infty$$x\to\infty$. A ver que, dividir la parte superior y la parte inferior de (1) por $\ln x$. Por lo tanto el original de la ración que se extiende hacia el infinito.

Answer 2

Va por el camino opuesto en comparación con André Nicolas:

La idea básica es que el $a^b = e^{b \ln a}$.

Hacer esto una vez con $a = \ln x$, $b = \ln(x)^{\ln(x)}$ : $\ln(x)^{\ln(x)^{\ln(x)}} =e^{\ln(x)^{\ln(x)}\ln \ln (x)} $.

Hacer esto de nuevo con $a = \ln x$, $b = \ln(x)^{\ln(x)}$ : $\ln(x)^{\ln(x)} =e^{\ln(x)\ln \ln (x)} $, así $$\ln(x)^{\ln(x)^{\ln(x)}} =e^{\ln(x)^{\ln(x)}\ln \ln (x)} =e^{e^{\ln(x)\ln \ln (x)}\ln \ln (x)} =e^{e^{\ln(x)\ln \ln (x)+\ln \ln \ln (x)}} $$

Ahora mira a $x^x$.

$$x^x = e^{x \ln(x)} =e^{e^{\ln(x)}\ln(x)} =e^{e^{\ln(x)+\ln\ln(x)}} $$

El segundo nivel de los exponentes son $\ln(x)\ln \ln (x)+\ln \ln \ln (x)$ y $\ln(x)+\ln\ln(x)$ y la primera es claramente más grande desde $\dfrac{\ln(x)\ln \ln (x)+\ln \ln \ln (x)}{\ln(x)+\ln\ln(x)} \approx \ln \ln (x) \to \infty$ como $x \to \infty$.

Mirando estas dos soluciones, Creo que André Nicolas es mejor porque es más fácil de entender.

Answer 3

Deje $\ln x=y\implies x=e^y$

a continuación, el límite convierte a $$\lim_{y\to\infty}\frac{y^{y^y}}{e^{ye^y}}$$

Compare ahora los poderes de $y,e$ en el numerador y el denominador como $y\uparrow$

$\lim_{y\to\infty}\frac{y^y}{ye^y}=\lim_{y\to\infty}\frac{y^{y-1}}{e^y}\rightarrow\infty$

Ahora, en el límite original $$\lim_{y\to\infty}\frac{y^{y^y}}{e^{ye^y}}$$

$y$ es sin duda $> e$ $y\uparrow \infty$ y el poder de $y$ en el numerador también crece mucho más rápido que el poder de la $e$ en el denominador

por lo $$\lim_{y\to\infty}\frac{y^{y^y}}{e^{ye^y}}>\lim_{y\to\infty}\frac{e^{y^y}}{e^{ye^y}}\to\infty$$