Una consecuencia específica de Cauchy de la integral de la fórmula

Question

Si f es holomorphic en un abrir subconjunto $G \subset \mathbb{C}$, y si $f'(a)\neq0$ algunos $a \in G$, entonces no existe $r>0$ tal que \begin{eqnarray}|f'(z)-f'(a)|<|f'(a)|,\end{eqnarray} para $z \in D(a,r)$ ($D$ para 'disco' con el centro de la $a$, radio $r$).

El de arriba es lo que pretendo demostrar. He intentado utilizar de Cauchy de la integral de las fórmulas i.e \begin{eqnarray}2\pi i f'(z)=\int_{\partial D(a,r)}\frac{f(w)}{(w-z)^2} \, dw,\end{eqnarray} o \begin{eqnarray}2\pi i f'(z)=\int_{\partial D(a,r)}\frac{f'(w)}{w-z} \, dw,\end{eqnarray}

pero no quiero llegar a ninguna parte? Si alguien pudiera dar una pista se lo agradecería.

Answer 1

Usted no necesita de Cauchy de la integral fórmula para esto. Un holomorphic función es infinitamente diferenciable, por lo que su derivada es continua. Su desigualdad es una instancia de la $\delta$-$\epsilon$-definición de la continuidad de la $f'$,$\delta=r$$\epsilon=|f'(a)|\gt0$.

Answer 2

Diferenciar $$ f(z)=f(a)+f'(a)(z-a)+\frac{f"(a)}{2} (z-a)^2 + \ldots $$ y deducir $$ f'(z)=f'(a)+f"(a)(z-a)+\ldots $$ Puesto que el poder de la serie de $f''(a)(z-a)+\ldots$ se desvanece en$a$$f'(a) \neq 0$, existe un radio de $r>0$ tal que $|f''(a)(z-a)+\ldots| < |f'(a)|$ siempre $|z-a|<r$.

Answer 3

$f'$ es continua como $f$ es holomorphic. Así que podemos aplicar la definición de continuidad con $\varepsilon:=\frac{|f'(a)|}2$.