Número de generadores de un ideal en $k[x,y]$

Question

Deje $k$ ser cualquier campo. Consideramos que el ideal de $(x^2, xy, y^2)$$k[x,y]$. Necesito demostrar que este ideal no puede ser generado por dos elementos.

He intentado esto considerando el contrapositivo, pero no puede ver nada útil. Supongo que algunos de los resultados de la dimensión de la teoría será necesario. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Set $I=(x^2, xy, y^2)$ $m=(x,y).$
Si $I=(f,g)$, entonces el k-vector, $I/mI$, el espacio tiene dimensión en la mayoría de las $2$. Pero $x^2+mI, xy+mI, y^2+mI$ son linealmente independientes en $I/mI$; ya que cada elemento de a $mI$ tiene un grado mínimo de $3.$