Suma de residuos módulo $p^2$.

Question

Que $p$ ser un primer impar. Demostrar que

$$ \sum_{k = 1}^{p-1} k^{2p-1} \equiv \frac{p(p+1)}2 \pmod{p^2}$$

Answer 1

respuesta de @user8268 (actualmente suprimido) tiene la idea correcta, aunque hubo errores algebraicos. La idea es grupo $1 \leq k \leq \frac{p-1}{2}$

\begin{align} k^{2p-1}+(p-k)^{2p-1} \equiv k^{2p-1}+[(2p-1)pk^{2p-2}-k^{2p-1}] &\equiv p(2p-1)k^{2p-2} \pmod{p^2} \ &\equiv p(2p-1) \pmod{p^2} \end {Alinee el}

donde en el último paso hemos utilizado $p \mid k^{2p-2}-1$ por el pequeño Teorema de Fermat.

Así\begin{align} \sum{k=1}^{p-1}{k^{2p-1}}=\sum{k=1}^{\frac{p-1}{2}}{\left(k^{2p-1}+(p-k)^{2p-1}\right)} & \equiv \frac{p-1}{2}p(2p-1) \pmod{p^2} \ & \equiv -\frac{p(p-1)}{2} \pmod{p^2}\ &\equiv \frac{p(p+1)}{2} \pmod{p^2} \end {Alinee el}