$a,b,c>0 \text{ s.t. }a+b+c=1 \implies \sqrt{ab+c}+\sqrt{bc+a}+\sqrt{ca+b} \ge 1+ \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$

Question

¿Cómo podemos demostrar que la suposición $a,b,c>0$ y $a+b+c=1$ implica

$$\sqrt{ab+c}+\sqrt{bc+a}+\sqrt{ca+b} \ge 1+ \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}~?$$

Answer 1

En primer lugar, afirmamos que $\sqrt{ab+c} \geq \sqrt{ab}+c$ .

Prueba de la reclamación : $$\begin{eqnarray*} \sqrt{ab}+c &=& \sqrt{ab + 2c\sqrt{ab} + c^2} \\ &\leq& \sqrt{ab + (a+b) c + c^2} \\ &=& \sqrt{ab + c(a+b+c)} = \sqrt{ab+c}. \end{eqnarray*} $$

La única desigualdad utilizada aquí es la desigualdad AM-GM: $\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$ . $\Box$

Ahora, la desigualdad completa se deduce fácilmente de la afirmación. Por simetría, también tenemos $\sqrt{bc+a} \geq \sqrt{bc}+a$ y $\sqrt{ac+b}\geq \sqrt{ac}+b$ . Sumando las tres desigualdades, obtenemos el resultado.