Supongamos que queremos comprobar si una función es derivable o no en un cierto dominio de la $x$. Por ejemplo, si $$f(x)=\int_{0}^{x} t \sin(\frac{1}{t})dt$$ in $(0,π)$ then is it okay to directly differentiate $f(x)$ and check if $f'(x)$ is continuous? Or it would be wrong to differentiate using Leibniz rule without knowing if $f(x)$ es derivable ?
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Paramanand Singh
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Primero de todo, comprender que el símbolo $$\int_{a}^{b}f(x)\,dx\tag{1}$$ represents the (Riemann) integral of a function $f$ on interval $[a, b]$. Thus the assumptions on $f$ are that $f$ is defined and bounded on $[a, b]$ and of course $f$ is (Riemann) integrable on $[a, b]$ for symbol $(1)$ para que tenga algún sentido.
En la mayoría de los casos la función de $f$ es generalmente dada por una fórmula a través de la cual la imagen de $f(x)$ $x$ bajo $f$ puede ser evaluado por la contramarcha. Así, en el ejemplo actual tenemos $$f(x) = \int_{0}^{x}t\sin(1/t)\,dt\tag{2}$$ and here the formula $g(t) = t\sin(1/t)$ makes sense only when $t \neq 0$. But then in order for equation $(2)$ to make sense we must have $g$ defined in interval $[0, x]$. So it is important that we define $g(0)$ somehow. Here we have complete freedom as the value of a function at a finite number of points does not make any difference to its Riemann integral and hence we may define $g(0)$ tener cualquier valor que desee. Es por esta razón que normalmente nadie se molesta en definir específicamente las funciones bajo el signo integral en excepcional puntos.
Además tenga en cuenta que $g(t)$ es continua en todas partes excepto en $t = 0$ y si elegimos $g(0) = 0$ $g$ es también continua en $t = 0$. Tomemos $g(0) = 0$, de modo que $g$ es continua en a $0$. A continuación, por el Primer Teorema Fundamental del Cálculo nos han $f'(0) = g(0) = 0$. La próxima nota de que, desde el valor de la integral en $(2)$ no es dependiente del valor de $g(0)$ $f(x)$ es independiente de $g(0)$ y, por tanto, $f'(0) = 0$ independientemente del valor de $g(0)$ es utilizado.
Aquí tenemos la suerte de tener una función $g$ bajo el signo integral para que $\lim_{t \to 0}g(t) = 0$ existe para que la función de $g$ puede hacerse continua en $0$ eligiendo $g(0) = 0$ y luego podemos aplicar el Primer Teorema Fundamental del Cálculo para obtener $f'(0) = g'(0) = 0$. Pero tenga en cuenta el ligeramente más duras ejemplo donde $$F(x) = \int_{0}^{x}\cos(1/t)\,dt\tag{3}$$ and here the function $G(t) = \cos (1/t)$ under integral sign has an essential discontinuity at $t = 0$ which can not be fixed by giving any value to $G(0)$. Thus the First Fundamental Theorem of Calculus is of no help here (at least in a direct manner) in evaluating $F'(0)$. In fact we don't even know if $F$ is differentiable at $0$.
El enfoque correcto aquí es difícil y se basa en otra función $\phi(t) = t^{2}\sin(1/t), \phi(0) = 0$. La función de $\phi$ es continua y diferenciable en todas partes con $$\phi'(t) = 2t\sin(1/t) - \cos(1/t), \phi'(0) = 0$$ Consider the function $\psi(t) = 2t\sin (1/t), \psi(0) = 0$ which is continuous everywhere and also define $G(0) = 0$. Then we can see that $\phi'(t) = \psi(t) - G(t)$ for all $t$. Also note that $\phi'(t)$ is continuous everywhere except at $t = 0$ and bounded everywhere and hence it is Riemann integrable in any finite interval and then by the Second Fundamental Theorem of Calculus we have $$\phi(x) - \phi(0) = \int_{0}^{x}\phi'(t)\,dt = \int_{0}^{x}\psi(t)\,dt - \int_{0}^{x}G(t)\,dt$$ or $$\phi(x) = \int_{0}^{x}\psi(t)\,dt - F(x)$$ or $$F(x) = \int_{0}^{x}\psi(t)\,dt - \phi(x)$$ We can now note that $\psi(t)$ is continuous everywhere and $\phi(x)$ is differentiable everywhere and hence by the First Fundamental Theorem of Calculus $F(x)$ is differentiable everywhere with $$F'(x) = \psi(x) - \phi'(x)$$ Thus $$F'(x) = \cos(1/x), F'(0) = 0$$ Note that the relation $F'(x) = \cos(1/x)$ is available by direct use of the First Fundamental Theorem of Calculus on equation $(3)$, but it is rather difficult to evaluate $F'(0) = 0$ as we have shown above. In this case you also see that derivative $F'$ is discontinuous at $0$.
Para responder a su pregunta en definitiva, es nunca posible diferenciar una función (o para comprobar la continuidad de la derivada), sin analizar adecuadamente la situación. En la mayoría de los casos hay teoremas que nos ayudan a concluir si la función es derivable o no y si diferenciable, a continuación nos ayudará a calcular la derivada y, finalmente, comprobar si la derivada es continua. También tenga en cuenta que estos teoremas (como dicen Regla de Leibniz) tienen sus hipótesis, las cuales deben ser verificados antes de aplicar el teorema de modo que no es posible utilizar los teoremas ciegamente. Pero en algunas circunstancias excepcionales, puede ser que no haya teoremas que son directamente aplicables y el problema requiere algunas razonable ingenio y esfuerzo para obtener la solución deseada.
Tenga en cuenta que $\phi(x)=x\sin(1/x)$ es continua en a $(0,\pi)$. De hecho, tiene una discontinuidad removible en $0$ desde $\lim_{x\to 0}x\sin(1/x)=0$. Como tal, $\phi$ es Riemann integrable en $[0,\pi]$.
Deje $f(x)$ ser dado por la integral
$$f(x)=\int_0^x t\sin(1/t)\,dt$$
Desde $t\sin(1/t)$ es continua, tenemos
$$f'(x)=x\sin(1/x)$$
para $x\ne0$ $f'(0)=0$ desde
$$f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac1h \int_0^h t\sin(1/t)\,dt=0$$
