Mostrar $\mathcal{H}$ es un espacio hilbert.

Question

Así que este es un ejercicio temprano en el Curso de Análisis Funcional de Conway. Estoy tratando de llegar a dominar esto hasta el mapeo abierto y el gráfico cerrado para ver si quiero hacer más análisis funcional. El análisis no es realmente lo mío, pero saber muchas matemáticas es un poder y yadda yadda. De todos modos el problema:

Dejemos que $\mathcal{H}=\{f:[0,1]\rightarrow \mathbb{F} \,:\, f\text{ is absolutely continuous, }f(0)=0, f'\in\mathcal{L}^2(0,1)\}$ (donde $\mathbb{F}$ es $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ ).

Definir $\langle f,g\rangle=\int_0^1 f'(t)\overline{g'(t)}\, dt$

Mostrar $\mathcal{H}$ es un espacio de Hilbert.

Así que estoy feliz de que $\langle \cdot,\cdot\rangle$ define un producto interno, sólo quiero mostrar la completitud en la métrica inducida por la norma. Así que mi primera puñalada fue dada una secuencia de Cauchy $\{f_n\}$ para definir $$g(x)=\lim_{n\rightarrow\infty} f_n'(x)\text{ (in $\mathcal {L}^2 $'s norm)}$$ Esto define $g$ casi en todas partes como la secuencia $f'(n)$ es Cauchy en $\mathcal{L}^2(0,1)$ (esto se desprende directamente de la definición de $\mathcal{H}$ ). Entonces quiero definir $f(x)=\int_0^x g(t)dt$ .

Ahora estoy luchando por demostrar que $f$ es absolutamente continua (hace tiempo que no se hace un análisis real, podría estar pasando por alto algo sencillo), me alegro de que FTC se ocupe de $f(0)=0$ y $f'\in\mathcal{L}^2(0,1)$ una vez que he mostrado esto.

Answer 1

¿Inspeccionar el producto interno te hace pensar que se trata de las derivadas? Así que vamos a centrarnos en $f'$ y ver cómo se consigue $f$ de la misma, es decir, integrándose.

Por lo tanto, considere esto: $L^2(0,1)\subset L^1(0,1)$ . Tome el mapa $T$ definido en $L^2(0,1)$ por $$T\phi(x)=\int_0^x\phi(t)\,dt.$$ Seguramente se trata de una isometría de $L^2(0,1)$ en $\mathcal{H}$ y ya está.

Answer 2

Esto es más o menos la continuidad de la integral de Lebesgue. Dado que $g \in L^2(0,1) \subset L^1(0,1)$ , usted tiene $$\int_E g \, dx \to 0$$ como $\mu(E) \to 0$ , donde $\mu$ es la medida de Lebesgue de $E$ .

Ahora, toma $\varepsilon > 0$ arbitrario y escoger $\delta > 0$ , de tal manera que $\int_E g \,dx \le \varepsilon$ para todo lo medible $E$ con $\mu(E) \le \delta$ . Esto implica inmediatamente la continuidad absoluta de $f$ .