La evaluación de la función de Green para la ecuación de Helmholtz en tres dimensiones a los que me enfrento a la siguiente identidad que no entiendo: $$\int_{R^3}d^3x(\nabla^2+k^2)\frac{exp(ik\|{x-x_0}\|)}{\||x-x_0\|}f(x)=\int_{R^3}d^3x\frac{exp(ik\|x-x_0\|)}{\|x-x_0\|}(\nabla^2+k^2)f(x)$$ where $f(x)$ is a fast decreasing test function and $\frac{exp(ik\|{x-x_0}\|)}{\||x-x_0\|}$ is my candidate green function, up to normalization constant, solving $(\nabla^2+k^2)G(x-x_0)=\delta(x-x_0)$. I know that for a domain $D$ and two function $u(x)$ and $f(x)$, i have $$\int_{D}d^3x[v(\nabla^2+k^2)u-u(\nabla^2+k^2)v]=\oint_{\partial D}[u\nabla v -v\nabla u ]\cdot \vec{n}ds$$ Ahora, ¿esta relación es válida también si $D=R^3$? Si es así, ¿cómo puedo demostrar que la mano derecha de la miembro de la última identidad es igual a$0$$u=\frac{exp(ik\|{x-x_0}\|)}{\||x-x_0\|}$$v=f(x)$?
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Utilizando el vector de identidad de $\nabla (\phi \vec A)=\phi \nabla \cdot \vec A+\nabla \phi \cdot \vec A $, tenemos
$$\begin{align} f(\vec x)\nabla^2G(\vec x|\vec x_0) &=\nabla\cdot\left(f(\vec x)\nabla G(\vec x|\vec x_0)\right)-\nabla f(\vec x)\cdot \nabla G(\vec x|\vec x_0)\\\\ &=\nabla\cdot\left(f(\vec x)\nabla G(\vec x|\vec x_0)\right)-\nabla\cdot\left(G(\vec x|\vec x_0)\nabla f(\vec x) \right)+G(\vec x|\vec x_0)\nabla^2 f(\vec x) \tag 1 \end{align}$$
La integración de $(1)$ a través de una esfera de radio $R$, centrada en $\vec x_0$, y aplicando el teorema de la divergencia de los rendimientos
$$\begin{align}\int_{|\vec x-\vec x_0|\le R} f(\vec x)\nabla^2G(\vec x|\vec x_0)\,d^3\vec x&=\int_{|\vec x-\vec x_0|\le R} G(\vec x|\vec x_0)\nabla^2 f(\vec x)\,d^3\vec x\\\\ &+\oint_{|\vec x-\vec x_0|=R} \left(f(\vec x)\nabla G(\vec x|\vec x_0)-G(\vec x|\vec x_0)\nabla f(\vec x)\right)\cdot \hat n\,dS \tag 2 \end{align}$$
Ahora, para $|\vec x-\vec x_0|=R$, tenemos los siguientes:
$$\begin{align} \hat n &=\frac{\vec x-\vec x_0}{R}=\hat R\\\\ dS&=R^2\,\sin(\theta)\,d\theta\,d\phi\\\\ G(\vec x|\vec x_0)&=\frac{e^{ikR}}{4\pi R}\\\\ \nabla G(\vec x|\vec x_0)\cdot \hat n&=-\frac{e^{ikR}}{4\pi R^2}\left(1-ikR\right)\\\\ f(\vec x)&= f(\vec x_0+\hat RR)\\\\ \nabla f(\vec x)\cdot \hat n&=\frac{\partial f(\vec x_0+\hat RR)}{\partial R} \end{align}$$
Por lo tanto, podemos escribir el integrando de la integral de superficie en $(2)$
$$\begin{align} R^2\left(f(\vec x)\nabla G(\vec x|\vec x_0)-G(\vec x|\vec x_0)\nabla f(\vec x)\right)\cdot \hat n&=-\frac{e^{ikR}}{4\pi }\left(f(\vec x_0+\hat RR)+R\left(\frac{\partial f(\vec x_0+\hat RR)}{\partial R}-ikf(\vec x_0+\hat RR)\right)\right) \tag 3 \end{align}$$
Siempre que $f(\vec x)$ satisface la Radiación de Sommerfeld Condición, el lado derecho de la $(3)$ se aproxima a cero como $R\to \infty$. Por lo tanto, nos encontramos con
$$\int_{\mathbb{R}^3} f(\vec x)\nabla^2G(\vec x|\vec x_0)\,d^3\vec x=\int_{\mathbb{R}^3} G(\vec x|\vec x_0)\nabla^2 f(\vec x)\,d^3\vec x$$
Por los comentarios a la pregunta: el hecho de que $f(x)$ es una rápida disminución de la función de prueba (por lo tanto, él y sus derivados $\to 0$$\|x\|\to0$) hace que la integral $$\lim_{\epsilon \to \infty}\oint_{\|x\|=\epsilon}[u\nabla v -v\nabla u ]\cdot \vec{n}ds\to 0$$ as the boundary goes to infinity, where $u=\frac{exp(ik\|{x-x_0}\|)}{\||x-x_0\|}$ and $v=f(x)$.
